「ヴィジュアルガイド物理数学〜多変数関数と偏微分」サポート掲示板のバックアップ(No.45)

「ヴィジュアルガイド物理数学〜多変数関数と偏微分」（東京図書）サポート掲示板 †

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mathjaxを使って、TeX形式で数式を打てるようにしてあります。＄または＄＄（もちろんほんとは全角じゃなく半角の「ドル」です）で囲んで入力してください。
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P.138 †

鮒27? $2018 - 04 - 07 (土$ 20:01:34)

$7.25$ の１行上の数式で最後のVrに $r, θ$ が付いてないのが気になりましたのでお知らせします。

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P.212 演習問題7-2の解答 †

鮒27? $2018 - 04 - 07 (土$ 13:36:25)

$C .221$ でθ積分をするとき、∂Ax/∂yは定数として積分記号の外に出していると思います。しかしAxはθの関数なのに、外に出してしまってもよいのでしょうか。

ここでの $A_{x}, A_{y}$ およびその微分は、もともとの $\vec{A} (x_{0} + Δ r \cos θ, y_{0} + Δ r \sin θ)$ を $Δ r$ が小さいとしてテイラー展開（ヒントの $C .130$ 式）した結果の係数なので、すでに $θ$ 依存性はなくなっています。 -- 前野? 2018-04-07 $土$ 13:54:23
なるほど、分かりました。ありがとうございました。 -- 鮒27? 2018-04-07 $土$ 16:33:18

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P.203 演習問題7-1のヒント †

鮒27? $2018 - 04 - 07 (土$ 12:08:42)

A->BはO->A, C->AはB->O, B->CはA->Bかと思います。

すいません、図の方を変えたときにヒントを直し忘れたようです。おっしゃる通りに訂正します。 -- 前野? 2018-04-07 $土$ 13:50:01

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P.211 演習問題6-4の解答 †

鮒27? $2018 - 03 - 29 (木$ 23:11:42)

$C .215$ の最初の行で、θの積分範囲は-π/2 -> π/2ではなく
0 -> πではないでしょうか。（結果は同じですが。）

確かにそうですね（しかも２行めで０〜πになっている）。これも直します。 -- 前野? 2018-03-30 $金$ 04:07:17

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P.111, P.196 †

鮒27? $2018 - 03 - 27 (火$ 19:13:23)

P.111 $6.24$ の１行上の式ですが、積分記号は不要ではないでしょうか。

P.196 問い6-3の解答で、第３の積分の置き換えはtan $θ - π / 2$ ではなく、tan $π - θ$ ではないでしょうか。

すいません、これも間違ってますね。直します。 -- 前野? 2018-03-29 $木$ 09:24:26

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P.210 演習問題5-7の解答 †

鮒27? $2018 - 03 - 27 (火$ 01:13:35)

$C .205$ について
2行1列目⇒1行2列目
1行目最後 cosΦ/rcosθ⇒cosΦ/rsinθ
2行目の２つ目の=の前に -sinΦcosΦ　が抜けています。

御指摘ありがとうございます。確かに間違ってます。 -- 前野? 2018-03-29 $木$ 09:04:59

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P.208 演習問題5-1の解答 †

鮒27? $2018 - 03 - 25 (日$ 17:33:40)

$C .189$ の最後　∂/∂r ⇒ ∂/∂θ　かと思います。

御指摘ありがとうございます。次の刷で直します。 -- 前野? 2018-03-26 $月$ 22:13:15

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P.101 問い5-9 †

鮒27? $2018 - 03 - 25 (日$ 14:30:39)

極座標での表現（３行目）⇒　（２行目）かと思います。

御指摘ありがとうございます。 -- 前野? 2018-03-26 $月$ 22:12:59

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問い5-3の解答 †

鮒27? $2018 - 03 - 24 (土$ 21:03:22)

"α方向の方向微分が $C .37$ となり、"とありますが
$C .37$ はどこから出しているのでしょうか。本文の $5.14$ と思いましたが少し違います。

あと、 $C .37$ の上の図で線分ｒと線分ａのなす角が直角でないと
ａcosα=-ｒdθsinθ,ａsinα=ｒdθcosθが成り立たないのではないでしょうか。
αは任意の角度ではないのでしょうか？

ｒと書いた線分とaと書いた線分はもちろん垂直です。ここで考えているのはθ方向なので。 -- 前野? 2018-03-24 $土$ 22:15:16
$C .37$ の出し方ですが、その少し前で $a \cos α$ と $a \sin α$ が求められているので、それを方向微分の式（たとえば $5.14$ ）に代入します。 -- 前野? 2018-03-24 $土$ 22:17:25
ご回答ありがとうございます。　線分が直角なのは理解できました。　しかし $C .37$ の出し方がまだ分かりません。　 $5.14$ の右辺でcosα=-rdθsinθ/a=-sinθ、sinα=rdθcosθ/a=cosθ を代入すると $C .37$ とは異なるように思います。 -- 鮒27? 2018-03-24 $土$ 23:14:00
すいません、上のはちょっと正確じゃなかったですね。 $5.14$ は方向微分の式ですが、それは「差を $a$ で割ってから $a \to 0$ の極限を取る」という計算をやってます。それの $a$ で割る前の量に対して $a \cos α = - r d θ \sin θ, a \sin α = r d θ \cos θ$ を代入したものが $C .37$ です。 -- 前野? 2018-03-25 $日$ 01:03:51
したがって、 $C .37$ を $a$ すなわち今の場合 $r d θ$ で割ったものが方向微分になります。つまり、 $C .37$ で $\underset{方向微分}{\underset{⏟}{}}$ と書いてある部分が方向微分になります。 -- 前野? 2018-03-25 $日$ 01:06:09
あぁやっと分かりました。　そういうことでしたか。　確かに $C .37$ をdθで割ればθ微分と方向微分がｒ倍違うことが分かりますね。解答を読んでいて $C .37$ が方向微分だと思い込んでいました。ありがとうございました。 -- 鮒27? 2018-03-25 $日$ 09:15:33

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P.89 †

鮒27? $2018 - 03 - 21 (水$ 16:40:41)

細かいことですが最初の立体グラフでx軸の"-3"が軸より離れた位置にあります。

すいません、ずれてますね。次の刷で直します。 -- 前野? 2018-03-23 $金$ 08:41:15

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演習問題4-2の解答 †

鮒27? $2018 - 03 - 14 (水$ 14:35:13)

$C .182$ の2つ目の項 $α + 1$ nRT^ $α + 1$ /VでT^ $α + 1$ はT^ $α$ ではないのでしょうか？

$C .183$ の右辺の'-'は'+'ではないのでしょうか？

$C .184$ の右辺でlogT^ $2 / 3$ は $3 / 2$ logTではないのでしょうか？'-'は'+'ではないのでしょうか？

熱力学がよく分かっていないので的外れな質問かもしれませんが、よろしくお願いします。

$C .182$ 、 $C .183$ についてはおっしゃる通りです。 $C .184$ は符号は＋です。 $\log (T^{\frac{3}{2}}) = \frac{3}{2} \log T$ なので、これについてはどっちで書いても同じです。 -- 前野? 2018-03-14 $水$ 17:13:39
分かりました。ありがとうございます。 -- 鮒27? 2018-03-14 $水$ 20:02:08

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演習問題4-1のヒントと解答 †

鮒27? $2018 - 03 - 14 (水$ 14:26:44)

P.201 $C .115$ の式は余分ではないでしょうか？　 $1$ のヒントの式がそのまま載っています。

P.208 $C .181$ で'='と数式がかぶっています。

上記の１つ目は私の勘違いでした。　 $1$ で出した式を $4.43$ に代入したものが $C .115$ ということですね。 -- 鮒27? 2018-03-29 $木$ 23:23:08
２つ目のご確認をお願いします。 -- 鮒27? 2018-03-29 $木$ 23:27:30
すいません、見落としていました。208ページは確かに変ですね。これも直しておきます。 -- 前野? 2018-03-30 $金$ 04:00:38

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問い4-5 †

鮒27? $2018 - 03 - 13 (火$ 19:50:35)

P.188 $3$ 最後の項λτx　⇒　λtanx
P.193 $4$ 最初の項dλ/gdx xlogx ⇒ dλ/dx xlogx $g が余分$
かと思います。

すいません、これもタイプミスです。増刷のときに直したいと思います。 -- 前野? 2018-03-14 $水$ 06:02:18

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P.73 $4.15$ †

鮒27? $2018 - 03 - 13 (火$ 00:28:49)

x^m*y^n=nCで右辺はCのほうが自然な気がします。

すいません、このnは単なるミスタイプです。 -- 前野? 2018-03-13 $火$ 08:46:12

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いつ †

大学生? $2018 - 01 - 29 (月$ 16:04:23)

よくわかる熱力学はいつ発売ですか？待ち遠しいです。

申し訳ないですが、２年ぐらいはかかると思ってください。 -- 前野? 2018-01-30 $火$ 07:16:52
わかりました；； -- 大学生? 2018-02-01 $木$ 13:02:44
特殊相対性理論の方が先に発売されますか？ -- 大学生? 2018-02-01 $木$ 13:03:24

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問い4-4の解答 †

鮒27? $2018 - 01 - 28 (日$ 23:08:43)

$C .34$ の3行上からですが、
∂P $x_{0}, y_{0}$ /∂y →　∂P $x_{0}, y$ /∂y
∂Q $x_{0}, y_{0}$ /∂x →　∂Q $x, y_{0}$ /∂x
ではないでしょうか。

下の式の場合、 $x - x_{0}$ の1次までの近似をしているので、 $Q (x_{0}, y_{0})$ と書いても $Q (x, y_{0})$ と書いても同じです。二つの書き方の違いは $(\frac{\partial Q (x, y_{0})}{\partial x} - \frac{\partial Q (x_{0}, y_{0})}{\partial x}) (x - x_{0})$ となりますが、これは $O ((x - x_{0})^{2})$ です。 -- 前野? 2018-01-30 $火$ 07:16:23
なるほど、ヒントと違っていたので気になったのですが理解できました。　ありがとうございます。 -- 鮒27? 2018-02-01 $木$ 20:01:30

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演習問題3-4の解答、問い4-2 $3$ の解答 †

鮒27? $2018 - 01 - 27 (土$ 12:05:05)

演習問題3-4の解答
$c .167$ で3πr^3 -> 3πr^2かと思います。
（その後の説明も）

問い4-2 $3$ の解答
∂y/∂y = 1 ->　∂ytanx/∂y = tanx
∂tanx/∂x =1/cos^2x -> ∂ $- 1$ /∂y = 0
かと思います。

すみません、問い4-2 $3$ の解答ではなく問4-3の解答 $問い 4 - 2 (3$ について）です。 -- 鮒27? 2018-01-28 $日$ 23:05:22
すいません、確かに間違ってます。 -- 前野? 2018-01-30 $火$ 07:14:23

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演習問題3-2 解答 †

鮒27? $2018 - 01 - 24 (水$ 19:07:04)

$1$ 　∂f $x y$ /∂x = ∂ $x y$ /∂x * f' $x y$ = y*f' $x y$
   ∂f(xy)/∂y = ∂(xy)/∂y * f'(xy) = x*f'(xy)
となっており、f' $x y$ がx,yの偏微分で同じ表記ですがこれは良いのでしょうか？
確かにf $x y$ = $x y$ ^2 + xy などで実際に計算すると
∂f $x y$ /∂x = 2xy * y + y = y $2 x y + 1$ .
∂f $x y$ /∂y = 2xy * x + x = x $2 x y + 1$ .
となりy* $何か$ , x* $何か$ という形になるのは分かるのですが。

$2$ ∂f $x^{m} * y^{n}$ /∂x = ∂ $x^{m} * y^{n}$ /∂x * f' $x y$ となっていますが
このf' $x y$ はf' $x^{m} * y^{n}$ ではないのでしょうか？

ああ、たしかに $x^{m} y^{n}$ が正しいです。 -- 前野? 2018-01-24 $水$ 20:29:47

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p66 †

角? $2018 - 01 - 21 (日$ 14:21:23)

p66のdxだけの移動による関数の変化量が
∂f/∂xと書かれていますが、
微小変化量なら∂f/∂xdxと書く気がするのですが、
これは私の間違いでしょうか。
どうぞ宜しくお願いします

そうですね、ここは変化量ではなく、「変化の割合」と書くべきでした。 -- 前野? 2018-01-21 $日$ 14:58:20

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P.128 $7.1$ †

鮒27? $2018 - 01 - 20 (土$ 02:01:39)

$7.1$ 式の真ん中の式ですが、dxは必要でしょうか？
素直にgradΦを入れると必要に思うのですが。

すいません、これはミスで、dxは必要です。次の刷で直します。 -- 前野? 2018-01-20 $土$ 09:35:58

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P61 $3.61$ と $3.62$ †

サラリーマン? $2017 - 11 - 26 (日$ 12:24:39)

$3.61$ の左辺にはマイナスが三つあるのですが、 $3.62$ の左辺にはマイナスがありません。 $- 1$ x $- 1$ x $- 1$ =-1だから $3.62$ の左辺にもマイナスを付けなくていいんですか？

図をよく見てください。今の場合、 $\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{Δ z}{- Δ y}$ です。 -- 前野? 2017-11-26 $日$ 12:42:20
ちょっと混乱してきちゃったのですが、 $3.14$ や $3.15$ で定義した偏導関数とは別物ということですか？ -- サラリーマン? 2017-11-26 $日$ 14:29:39
同じ物です。zの変化割るyの変化です。この場合yの変化がーΔyなだけです。図をよく見てください。 -- 前野? 2017-11-26 $日$ 15:47:07
Δyの定義が違うということですね。 -- サラリーマン? 2017-11-27 $月$ 21:49:17
脚注に書いてある通りです。 -- 前野? 2017-11-27 $月$ 22:59:48
すいません。見落としてました。注を前提にして考え直してみます。 -- サラリーマン? 2017-11-28 $火$ 22:58:54

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いつ †

大学生? $2017 - 11 - 07 (火$ 15:13:10)

第三巻が早く欲しいです。
いつ発売ですか。

すいません、刊行予定の次が「よくわかる特殊相対論」か「よくわかる熱力学」になったので、ヴィジュアルガイド物理数学の３冊目は遅れそうです。 -- 前野? 2017-11-08 $水$ 07:14:37
；； -- 大学生? 2017-12-01 $金$ 11:04:52

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全微分と勾配の違いについて †

$2017 - 09 - 24 (日$ 18:00:36)

全微分と勾配の違いがわかりませんでした。
関数fがあるとき、「fを全微分する」と「grad $f$ 」は同じ操作ですか？

似ている部分はありますが、違います。「全微分する」というのは $f (x, y)$ のような２変数以上の関数から、 $\frac{\partial f}{\partial x} d x + \frac{\partial f}{\partial y} d y$ を作るという「操作」もしくは操作の結果の名前です。 -- 前野? 2017-09-24 $日$ 18:19:19
勾配は $\frac{\partial f}{\partial x} {\vec{e}}_{x} + \frac{\partial f}{\partial y} {\vec{e}}_{y}$ というベクトルです。同じ部品が出てきてはいますし、計算の内容は同じ感じに見えるかもしれませんが、一応別です。 -- 前野? 2017-09-24 $日$ 18:20:45
さっそくのご回答、ありがとうございます。大変勉強になりました。ありがとうございました。 -- 2017-09-24 $日$ 18:25:07

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P126 $6.74$ †

大学生? $2017 - 09 - 02 (土$ 01:55:19)

x＝e_zDsinσ＋ $R ＋ D c o s σ$ e_ρ
ではありませんか？
またヒントにある変位ベクトルがなぜ、そうなるのかわかりません。dσ変化させたら位置は $D c o s σ e_{z} － D s i n σ e_{ρ}$ ではありませんか？

これは確かに、図が正しいとすれば $\vec{x} = {\vec{e}}_{z} D \sin σ + (R + D \cos σ) {\vec{e}}_{ρ}$ ですね。 -- 前野? 2017-09-02 $土$ 02:03:15
そしてそうならば、これを微分して考えると ${\vec{e}}_{z} \cos σ - D \sin σ {\vec{e}}_{ρ}$ です。 -- 前野? 2017-09-02 $土$ 02:05:25
図のσの位置が間違っていると考えてもいいです（図にσと書かれている角度が実は $\frac{π}{2} - σ$ だと思う）。その場合は本に書いてある式は正しくなります（図と式の対応がおかしい）。 -- 前野? 2017-09-02 $土$ 02:08:02
こちらの方が修正箇所が少なくて済むので、角度σの定義を次の図のように直してください。すみません。 -- 前野? 2017-09-02 $土$ 02:19:44

ヒントと解答の微分した値が異なるところも修正ありますか？ -- 大学生? 2017-09-03 $日$ 14:13:17
ああすみません、ヒントの $(- {\vec{e}}_{x} D \sin σ + {\vec{e}}_{y} D \cos σ) d σ$ は間違ってますね。 -- 2017-09-03 $日$ 14:17:41
解答の方の、 $(- {\vec{e}}_{z} D \sin σ + {\vec{e}}_{ρ} D \cos σ) d σ$ が正解です。 -- 前野? 2017-09-03 $日$ 14:18:17
わかりました！ -- 大学生? 2017-09-06 $水$ 00:55:43

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P81 熱力学の積分因子 †

大学生? $2017 - 08 - 11 (金$ 00:24:30)

演習4-2の答えが1/Tとなっていますが、V^ $2 / 3$ も正解ですか？

そっちは、積分因子の形を $V^{α}$ と仮定すれば出てきます。 -- 前野? 2017-08-11 $金$ 06:47:31
有難うございます。 -- 大学生? 2017-08-14 $月$ 15:32:56

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P41 †

大学生? $2017 - 08 - 08 (火$ 15:22:05)

なぜ、f $x, y$ に対して、p41に書いてあるような操作をすると接平面の式になるのですか。
数学の授業ではx,yについて $1, 0, 0$ の偏微分係数をかはx方向y方向の傾きを決め、z＝ $x の傾き$ × $x - 1$ ＋ $y の傾き$ × $y - 0$ のようにすると教わりました。

その二つは相反するものではなく、どっちも同じ計算です。つまり「一階微分する」という計算は「展開して１次以外を忘れる」という計算と本質的に同じだからです。 -- 前野? 2017-08-09 $水$ 12:04:42
返事が遅れでごめんなさい。わかりました。ところでこの操作は多項式のみに有効ですか。 -- 大学生? 2017-08-11 $金$ 00:13:17
「２次以上を省略する」という操作ができれば有効ですが、それが簡単にできるのは多項式の場合ですね。 -- 前野? 2017-08-11 $金$ 06:45:22
わかりました。有難うございます！ -- 大学生? 2017-08-14 $月$ 15:32:40

「ヴィジュアルガイド物理数学〜多変数関数と偏微分」サポート掲示板 のバックアップNo.45

「ヴィジュアルガイド物理数学〜多変数関数と偏微分」（東京図書）サポート掲示板 †

P.138 †

P.212 演習問題7-2の解答 †

P.203 演習問題7-1のヒント †

P.211 演習問題6-4の解答 †

P.111, P.196 †

P.210 演習問題5-7の解答 †

P.208 演習問題5-1の解答 †

P.101 問い5-9 †

問い5-3の解答 †

P.89 †

演習問題4-2の解答 †

演習問題4-1のヒントと解答 †

問い4-5 †

P.73 4.15 †

いつ †

問い4-4の解答 †

演習問題3-4の解答、問い4-23の解答 †

演習問題3-2 解答 †

p66 †

P.128 7.1 †

P61 3.61と3.62 †

いつ †

全微分と勾配の違いについて †

P126 6.74 †

P81 熱力学の積分因子 †

P41 †

「ヴィジュアルガイド物理数学〜多変数関数と偏微分」サポート掲示板のバックアップ $N o .45$

P.73 $4.15$ †

演習問題3-4の解答、問い4-2 $3$ の解答 †

P.128 $7.1$ †

P61 $3.61$ と $3.62$ †

P126 $6.74$ †