「ヴィジュアルガイド物理数学〜多変数関数と偏微分」サポート掲示板のバックアップ(No.104)

「ヴィジュアルガイド物理数学〜多変数関数と偏微分」（東京図書）サポート掲示板 †

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p201 【演習問題3-5】のヒント †

草間? $2022 - 01 - 16 (日$ 10:28:34)

２点間の距離をlとして、∂l/∂yA=0かつ∂l/∂yB=0ではなく、全微分dl=0という条件からでは解が出ない理由が分かりません。どうか宜しくお願い致します。

どっちでも出ませんか？ -- 前野? 2022-01-16 $日$ 12:31:14
全微分dl=0はl=一定を意味するだけで、lが停留する条件には不十分だという事でしょうか。勘違いでしたら大変失礼しました。 -- 草間? 2022-01-16 $日$ 20:26:29
言っていることが伝わってないみたいな感じですが、dl=0で考えてもどっちでも出ます。だから「出ない理由」と言われても、出るのだから困ります。というわけで「出ないと思っている理由」を知りたくて「どっちでも出ませんか？」と聞きました。 -- 前野? 2022-01-16 $日$ 22:08:46
実際、 $d ℓ = \frac{\partial ℓ}{\partial y_{A}} d y_{A} + \frac{\partial ℓ}{\partial y_{B}} d y_{B}$ とすればこれが0ってことはそれぞれの偏微分係数が０ということなので、同じ結果になります。くどいようですがもう一回言います。どっちでも出ます。「全微分では解が出ない」なんてことはありません。 -- 前野? 2022-01-16 $日$ 22:11:11
lが一定の条件が全微分dl=0、lが停留する条件は任意のdyA、dyBで全微分dl=0になることから∂l/∂yA=0、∂l/∂yB=0になるということでしょうか。全微分が0の条件だけからはyA、yBの曲線が得られるだけで、停留点の条件は偏微分係数が両方向とも0になるの全微分も0になるという事でしょうか。何回もすいません。どうか宜しくお願いいたします。 -- 草間? 2022-01-17 $月$ 03:55:59
もう一回いいますが、 $d ℓ = 0$ と「 $\frac{\partial ℓ}{\partial y_{A}} = 0$ かつ $\frac{\partial ℓ}{\partial y_{B}} = 0$ 」は同じです。よって今求めたい「 $ℓ$ が停留する条件」はもう一回いいますが、 $d ℓ = 0$ としてもいいし、「 $\frac{\partial ℓ}{\partial y_{A}} = 0$ かつ $\frac{\partial ℓ}{\partial y_{B}} = 0$ 」としてもよいです（ということを上でも言っているつもり）。 -- 前野? 2022-01-17 $月$ 06:56:26
dl=0だけだと、dyA/dyB=- $\partial l / \partial y B$ / $\partial l / \partial y A$ というyAとyBの関係だけが言えて、∂l/∂yA=∂l/∂yB=0まで言えないと考えてしまいました。 -- 草間? 2022-01-17 $月$ 10:15:58
そんなことありません。yAとyBは独立です。 -- 前野? 2022-01-17 $月$ 12:49:46
やっと理解出来ました。何度も質問してしまい失礼しました。どうもありがとうございました。 -- 草間? 2022-01-17 $月$ 18:35:49

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p77 $4.29$ 式について †

たこやき? $2021 - 06 - 24 (木$ 22:32:15)

$4.29$ 式をyで偏微分すると、 $4.29$ の第2項
$\int_{y_{0}}^{y} d t \frac{\partial Q (x_{0}, t)}{\partial t}$
の計算結果がQ $x 0, y$ +Q $x 0, y 0$ となって
$\frac{\partial U (x, y)}{\partial y} = Q (x, y) + Q (x_{0}, y_{0})$
となってしまうような気がするのですが、私がなにか勘違いをしてしまっているのでしょうか？
お忙しいところ恐縮ですが、ご教授していただければ幸いです。

$\int_{y_{0}}^{y} d t \frac{\partial Q (x_{0}, t)}{\partial t}$ → $\int_{y_{0}}^{y} d t \frac{d Q (x_{0}, t)}{d t}$ でした -- たこやき? 2021-06-24 $木$ 22:39:53
Q $x 0, y$ +Q $x 0, y 0$ →Q $x 0, y$ -Q $x 0, y 0$ でした -- たこやき? 2021-06-24 $木$ 22:45:42
最後の式も -- 2021-06-24 $木$ 22:47:12
Q $x, y$ +Q $x 0, y 0$ →Q $x, y$ -Q $x 0, y 0$ でした -- たこやき? 2021-06-24 $木$ 22:48:35
「yで微分」なのですから、 $4.29$ の第二項を微分する時に微分されるのは $\int_{y_{0}}^{y}$ の上端にあるyです。 -- 前野? 2021-06-24 $木$ 22:53:43
$\frac{d}{d y} \int_{y_{0}}^{y} f (x) d x = f (y)$ という式「積分してから微分すると元に戻る」を使います。 -- 前野? 2021-06-24 $木$ 22:56:48
解決しました。お忙しいところ、このような質問にご回答頂きありがとうございます。 -- たこやき? 2021-06-24 $木$ 23:10:05

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P106,p196 問6-1について †

大学生? $2021 - 04 - 26 (月$ 10:31:02)

では、微小線分の $ϵ^{2} = 0$ 周りでの一次までのテーラー展開で近似していると思いますが、0回りで考えているのは何故でしょうか。円に近いところを見ていることは分かるのですが、単に問題で $ϵ^{2}$ オーダーで考えろという指定があるからでしょうか？

「（C.70）では」です -- 大学生? 2021-04-26 $月$ 10:32:18
もちろん、 $O (ϵ^{2})$ を考えるので $ϵ = 0$ の近くを考えてます。 -- 前野? 2021-04-26 $月$ 12:18:12
「（C.70）では」です -- 大学生? 2021-04-26 $月$ 13:00:26
「（C.70）では」です -- 大学生? 2021-04-26 $月$ 13:00:29
すみません。リロードしたら余計に送られてしまいました。ご回答ありがとうございます。 -- 大学生? 2021-04-26 $月$ 13:01:19
ありがとうございます。 -- 大学生? 2021-05-16 $日$ 11:30:59

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P175 $A .41$ 式について †

大学生? $2021 - 04 - 12 (月$ 19:40:28)

式としては、座標系を決めることで未知数αが求まることは理解できるのですが、なぜ座標系を決めることで未知数が定めることができるかの意味がわかりません。
また、 $A 38$ 式自体は座標系に寄らず正しい式でしょうか。

$A .38$ は座標系によらずに等しい式です。 $A .41$ までは特定の座標系を決めずに求めてます。 -- 前野? 2021-04-12 $月$ 20:20:13
そもそも、「外積を取る」という操作が座標系によらずに決まる操作なので、外積を２回やった結果も、座標系によらずに決まることになります。よって、特定の座標系でのαを求めれば、どの座標系でも成り立つことになります。 -- 前野? 2021-04-12 $月$ 20:21:36
ありがとうございます。 -- 大学生? 2021-04-13 $火$ 11:39:40

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問4-5（1） p80 p188 p193 †

大学生? $2021 - 03 - 19 (金$ 12:07:36)

P193の記述で $2 x \frac{d λ}{d x} = λ$ はp188の式について $\frac{\partial λ}{\partial y} = 0$ から来ていると思うのですが、この時λ名前のマイナスが消えているのはなぜでしょうか？

「名前→の前」です -- 大学生? 2021-03-19 $金$ 12:08:31
すいません、これはマイナスがついているのが正解で、微分方程式の答えは $λ = \frac{C}{\sqrt{x}}$ になります。 -- 前野? 2021-03-19 $金$ 12:23:41
ありがとうございます。 -- 大学生? 2021-03-22 $月$ 22:36:56
ありがとうございます。 -- 大学生? 2021-04-10 $土$ 17:17:56

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大学生 †

P193 問4-4? $2021 - 03 - 14 (日$ 13:43:07)

解答の一行目から二行目で、
例えば $\int_{x_{0}}^{x} d t P (t, y_{0})$ を上端を用いて $P (x, y_{0}) (x - x_{0})$ などと近似することもできると思うのですが、下端を使って近似しているのは最終的に積分可能条件の式を出すことを意識しているから、という認識であっていますでしょうか。

上端を統一して選んで式変形しても、_0なしの $x, y$ の積分可能条件を出すこともできてそれでも正解ということでしょうか？ -- 大学生? 2021-03-14 $日$ 13:49:00
どっちでやっても今考えている近似の範囲では同じ結果が出ます。今 $x - x_{0}$ は小さいと考えている（１次の微小量）なので、これが掛かっている計算では $x$ と $x_{0}$ の差は２次の微小量です。 -- 前野? 2021-03-14 $日$ 17:21:17
その場合、 $x - x_{0}$ がかかっている式のcが $y - y_{0}$ または -- 大学生? 2021-03-14 $日$ 22:53:29
すみません。途中で送信してしまいました。「その場合、 $x - x_{0}$ がかかっている式のxと $x_{0}$ のときの差が $x - x_{0}$ あるいは $y - y_{0}$ の一一次以上の量で表されることは、U $x, y$ を使ってその式テーラー展開することから示せるから、U $x, y$ が存在 $\Rightarrow$ 積分可能条件が示せるということですか？ -- 大学生? 2021-03-14 $日$ 23:01:13
すみません。上で言っていることは正しくないですね。お答えいただかなくて大丈夫です。教えていただいたことを元に考えたのですが、(C.34）の積分可能条件は_0なしで、 $- \frac{\partial P (x, y)}{\partial y} + \frac{\partial Q (x, y)}{\partial x}$ と書いても同じことでしょうか？ -- 大学生? 2021-03-14 $日$ 23:28:48
微小量の極限を取った後なら、 $x$ と書いても $x_{0}$ と書いても中身は同じです。 -- 前野? 2021-03-15 $月$ 06:46:58
ありがとうございます。 -- 大学生? 2021-03-16 $火$ 12:25:29

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P53の最後の文 †

大学生? $2021 - 03 - 09 (火$ 17:58:39)

「最終結果は〜と同じ量になっているので」という記述ですが、確かに（3.29）（3.30)を見れば二者は同じ量であるとわかるのですが、この図からは二つが同じ量であることは直感的に分かりません。どのように解釈すればいいでしょうか？

図に示されているのは４つの量の足し算、正確に言えば「＋」と書いてある２箇所の量を足して「ー」と書いてある２箇所の量を引くという計算です。「＋」と書いている場所と「ー」と書いてある場所が一致しているのですから、結果は同じです。 -- 前野? 2021-03-09 $火$ 19:39:15
矢印に意識が行き過ぎてあくまでもスカラ量の足し引きを考えているのを失念していました。ありがとうございます。 -- 大学生? 2021-03-11 $木$ 19:03:17

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P 59 $3.51$ †

大学生? $2021 - 03 - 09 (火$ 17:35:56)

題名の式において、「微分の結果は二つの式の和になり」というのは、微分のどのような性質を用いていますか？
線形性でもライプニッツ則でもない気がします。

図に書いているように、Z $x, Y (x, z$ )には二箇所にxがありますから、その２箇所のxをそれぞれ微分した結果がこの式です。 -- 前野? 2021-03-09 $火$ 19:37:36
証明が必要なら、少し先の3.4.3に２変数の変数変換の話があります。そこの計算で、変数の一つ（xの方）を変えなかったと思えば同じことです。 -- 前野? 2021-03-09 $火$ 19:50:51
証明を追って理解できました。ありがとうございます。 -- 大学生? 2021-03-11 $木$ 19:00:10

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p201 【演習問題3-5】のヒント †

p77 4.29式について †

P106,p196 問6-1について †

P175 A.41式について †

問4-5（1） p80 p188 p193 †

大学生 †

P53の最後の文 †

P 59 3.51 †

「ヴィジュアルガイド物理数学〜多変数関数と偏微分」サポート掲示板のバックアップ $N o .104$

p77 $4.29$ 式について †

P175 $A .41$ 式について †

P 59 $3.51$ †