「よくわかる初等力学」（東京図書）サポート掲示板３ †
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慣性モーメントについて †
はじめ? (2016-09-21 (水) 01:59:37)
演習問題8-1でそれぞれ慣性モーメントを算出しましたが、回転の軸が物体の中心でないときの角運動量を算出するときに、8-1で算出した慣性モーメントは用いることは出来るのでしょうか？
- その場合は8.4.1の平行軸の定理のような計算をして慣性モーメントを変換します。 -- 前野?
- お返事ありがとうございます！例えばですが、p262の(8.69)はどのような計算をしているのでしょうか？ -- はじめ?
- その式のすぐ上に説明ある通りの計算なんですが、どのような点が不明でしょうか？？ -- 前野?
書き込み時刻が被ってしまって挿入場所がづれてしまったようです。こちらに返信がいただけるとうれしいです †
関? (2016-09-20 (火) 18:27:25)
p241の剛体の問題設定の場合、剛体棒を細かくわけて1か所ずつで先の質点同様位置ベクトルから運動量ベクトルに右ネジをまくようにして軸を考えると原点以外の場所では全て軸は-eθを向くように思えてしまうのですが、ここでの軸はZ方向と書いてあります。剛体を扱うにあたって何が原因となってこのようになってしまったのかわかりません。教えていただけないでしょうか
- 剛体の場合の「軸」は質点の場合の軸とは定義が違います。 -- 前野?
- 問題は「原点以外の場所では全て$\vec{\mathbf e}_\phi$を向く」というのは、剛体を分割した一個一個の質点に対しては正しいですが、$\vec{\mathbf e}_\theta,\vec{\mathbf e}_\phi$は場所によって違う方向を向いているので「どこでも$-\vec{\mathbf e}_\theta$というのは実は「どこでも同じ方向」ではないということです。 -- 前野?
- ですから、剛体が「ｚ軸周りに回っている」というとき、剛体を分割した各点各点の角運動量ベクトルはいろんな方向を向いていて、それを足し算した（積分した）結果がｚ軸方向を向く、ということになります（剛体の角運動量や回転軸は、全体の運動を見て決まるものとして定義されているわけです）。 -- 前野?
- 質点における回転軸とは刻一刻と向きをかえるもの。剛体の回転軸とはある回転を想定して各位置での質点同様にもとめた軸をその回転動作すべてにおいて足し合わせた向きを持つもの。というように、全く別のものとして認識してよいでしょうか。前者の軸は角速度ベクトルと速度ベクトルの外積により回転に関与する速度ベクトルを抜き出せる点が素晴らしいようにおもえるのですが、後者にも何かこの先にうまみがあるのでしょうか -- 関?
- 質点が剛体かの違いでなく「外から力のモーメントがかかっている場合」は「回転軸（というか角運動量）は刻一刻と向きを変えるもの」ということになります。 -- 前野?
- ２３５ページの右の図のような「θが変わらずφが変化する」という回転の場合、物体には回転の中心（原点ではない）に向かう力（たとえば紐につけてくるくる回しているなら、紐の張力）がかかっていますが、その外力は中心力じゃない（原点を向いてない）ので、力が０でないモーメントを持っている。だから角運動量（軸）が変化するわけです。 -- 前野?
- 剛体の場合も外から力がかかっていてモーメントを持っていれば角運動量が変化します。剛体の各点各点を分割すると、その各点の持つ角運動量は（外力が０である場合も）変化しています。しかしそれは内力による変化なので、剛体全体で足し算すると消えて、「外力がないなら剛体の角運動量は保存する」となります。 -- 前野?
- 剛体の角運動量も計算法自体は質点と同じ（最後に積分するだけ）ですが、内力によるモーメントは積分で消えるので外力のモーメントだけ考えればよくなる、というのがうまみということになるでしょうか。 -- 前野?
- たいへん詳しくありがとうございます。理解がすすみました -- 関?
P260の問8-5について †
はじめ? (2016-09-20 (火) 18:00:56)
前にもお伺いしたのですが、解決しきれていなかったので再度質問させていただきます。解答の図で回転方向を逆にするとコマの回転による角運動量は右上向きなのに対し、動摩擦力によるモーメントは右下向きです。動摩擦力によるモーメントは軸が倒れる向きなのではないでしょうか？
また、p95にあるように力とモーメントがつりあっている時には原点は任意でよいことが書かれていますが、コマの場合モーメントはつりあっていないので、どこを原点に取れば良いのかわかりません。どこを原点とすればよいですか？
- 回転方向が変われば角運動量が替りますから、角運動量ベクトルは左下を向きます。動摩擦力のモーメントは右下向きなのはそれでいいです。 -- 前野?
- モーメントの原点をどこにとってもいいのはつりあってなくても同じです。そもそも「原点」などという人間の都合で物理法則が替わったりはしないものです。ですから原点はどこでもいいですが、重心に取ると重力のモーメントが０になるので少し計算で楽ができるので、重心に取ってます（他にしたければそうしてもよい）。 -- 前野?
- p241の剛体の問題設定の場合、剛体棒を細かくわけて1か所ずつで先の質点同様位置ベクトルから運動量ベクトルに右ネジをまくようにして軸を考えると原点以外の場所では全て軸は-eθを向くように思えてしまうのですが、ここでの軸はZ方向と書いてあります。剛体を扱うにあたって何が原因となってこのようになってしまったのかわかりません。教えていただけないでしょうか。 -- 関?
- お返事ありがとうございます。倒れる向きに角運動量は増加するという解釈になってしまいそうなのですが、それで良いのでしょうか？ -- はじめ?
- また、原点をコマの先にとると動摩擦力のモーメントは0になるのではないでしょうか？ -- はじめ?
- 「倒れる向きに角運動量は増加する」？？？ ってどういう意味だろう？？？ もちろん、どっちの回転方向であろうが、摩擦力は「コマを立てる」方向の力になるのですが。 -- 前野?
- 動摩擦力のモーメントは「接地点」を原点に取れば０になりますね。その場合は角運動量も接地点を原点として考えるので複雑な量になり、計算が面倒になりそうです。 -- 前野?
- お返事ありがとうございます。「倒れる向きに角運動量は増加する」というのは勘違いでした。力がつり合っているか、モーメントがつりあっているか、ということをにかかわらず、にかかわらず原点を変えることが出来るのですね。コマの先に原点を置いた時に、軸を鉛直に戻すモーメントは存在するのでしょうか？ -- はじめ?
p236の右図について †
関? (2016-09-20 (火) 16:07:21)
この図に回転軸は-eθを向くと記述されていますが、私には回転軸はZ軸方向、角運動量が-eθを向くように思えるのですがこれは勘違いでしょうか。
- 質点の話の場合、回転軸と角運動量に差はありませんので、どちらも$-\vec{\mathbf e}_\theta$方向です。 -- 前野?
- この場合の「回転軸」というのは236ページの図の右に書いている円盤に垂直な軸、ということになります。円盤は「（これまでの履歴とは関係なく）この瞬間に物体の速度が向いている方向を含む面」にあるするように書かれています。 -- 前野?
- 図がｚ軸を周りに回っているように描かれているので「回転軸」がｚ軸のように思えてしまう（このあたりの区別をきちっと書いておかなかったのは私の失敗）んですが、ここで「軸」と呼んでいるのはあくまで、$\vec \omega$の向きです。 -- 前野?
p239について †
関? (2016-09-19 (月) 21:38:47)
ページ最下部に「任意の角度でも計算してみると良い」と書いてありますが、任意の角度の場合もその時の棒の位置に沿ってy軸を置けば計算結果が変わらないことは納得出来たのですが、座標軸の設定を変えずに、例えばπ/4回転した後の角運動量を計算したい場合はどのように数学を使えばいいのかわかりません。教えていただけないでしょうか。
- その場合、距離の自乗が$x^2+y^2$になります。積分は$x$か$y$かどちらかで行います。たとえば、$x$を$-{A\over 2\sqrt{2}}$から${A\over 2\sqrt{2}}$のように（角度が${\pi\over 4}$なら）。この場合、$x$を決めれば$y$が決まるから、$y$を$x$で表して（${\pi\over4}$なら単純に$y=x$でよい）、代入してから積分します。 -- 前野?
- 任意の角度でも、$y=x\tan\alpha$みたいな感じで代入してから適切な範囲で積分すればちゃんと同じ答えになるはずです。 -- 前野?
- 丁寧にありがとうございます助かりました。 -- 関?
P260問2-5の解答について †
はじめ? (2016-09-19 (月) 08:16:04)
解答の図では動摩擦力によるモーメントが、Lベクトルを鉛直方向に向くようになっているのですが、回転の向きが逆なら倒れる方向にモーメントがかかるということでしょうか？
- 回転が逆なら角運動量も逆、動摩擦力の向きも逆なので、やっぱり戻す方向になります。絵でも描いて確認してみてください。 -- 前野?
- お返事ありがとうございます。なるほど。わかりました。ところで、解答ではなぜ動摩擦力のモーメントの位置を考える時に、原点を今まで通りのコマの軸の先端ではなくて、重心としてよいのでしょうか？ -- はじめ?
- モーメントの原点なんて、その時その時で便利な場所を選べばいいです。ということもどこかに書いたはず。: -- 前野?
- お返事ありがとうございます。P95ページにはモーメントがつり合っている場合と書いてあります。 -- はじめ?
P257の問8-4 †
はじめ? (2016-09-19 (月) 01:40:31)
M,m,I,Rの関数としてとあるのですが、fとf'はrの値にもよりますよね
- ああほんとだ。問題文にrを付け加えておいてください。 -- 前野?
- 承知いたしました！ -- はじめ?
接触面と仕事について †
はじめ? (2016-09-18 (日) 17:20:46)
接触面がうごいていないとはどういうことでしょうか？スケートのリンクの上で車の車輪が空回りして前に進めないのを想像すれば良いのでしょうか？
- どのページで悩んでいるのかがわかりませんが、144ページの図解を見てください。 -- 前野?
- お返事ありがとうございます！致命的なミスをしてしまいました。ごめんなさい。ページは255ページでFAQのところです。 -- はじめ?
- それなら、やはり144ページの図を見てください。「空回り」とは全然違います。 -- 前野?
- 地面がうごいていないということでしょうか？FAQではFは仕事ができないのではないか。とあるのですが、物体は常にFの力を受けながら逆向きに運動しているのでFが仕事をしているということではないのですか？ -- はじめ?
- いや。地面がどうこうではなく。144ページ読んでください。 -- 前野?
- この場合、接触面ではどちらもうごいてません。その説明が144ページにあります。 -- 前野?
- お返事ありがとうございます！地面に接しているタイヤの接触面が地面に対して静止しているということですね。静止摩擦力は仕事をしないということでしょうか？滑っていない状況が、「一瞬接触し、地面から離れていく」とあったのですが、動摩擦力でも接触しているのは一瞬なのでは、とおもったのですが、静止摩擦力がかかる場合、v＝Rωより確かに床の接触している部分の速度(接触している箇所が移動する速度、例えばp点で接していたのがq点に移る速度、その大きさがvにあたる。)とタイヤの接触している箇所の速度(その大きさがRωにあたる。)は同じとなって床に対して静止していることから(一瞬しか接触していないことから)静止摩擦力がかかるとわかり、動摩擦力の場合はv＞Rωとなって床の方が速いということになって動摩擦力がかかるということがわかる。のですね。 -- はじめ?
円盤の慣性モーメントについて †
はじめ? (2016-09-18 (日) 10:13:07)
円盤の慣性モーメントはなぜ1/2MR^2となるのですか？I_xx＋I_yy＋I_zzでMR^2ではないのですか？
- また、(8.45)のように計算すると、円盤の場合z方向に長さ0なので積分区間が0で慣性モーメントは0にはならないのでしょうか？ -- はじめ?
- 慣性モーメントの各成分を足し算しても意味がありません。 -- 前野?
- 長さが０とみなせる場合はいったん有限の長さ（ｃ）を与えておいて、計算が終わってからｃ→０の極限を取るべきです。そうやればちゃんと０にならないです。あるいは最初から２次元でやるなら、体積密度じゃなく面積密度を使った計算（８．５．２節ではこれをやっている）をやります。 -- 前野?
- 見直していて気づきましたが、(8.44)は間違っていますね。$I_{xx}=I_{yy}={\rho_{\scriptscriptstyle \mathbb S}\pi R^4\over 4}={MR^2\over 4},I_{zz}={\rho_{\scriptscriptstyle \mathbb S}\pi R^4\over 2}={MR^2\over 2},I_{xy}=0$と訂正してください。 -- 前野?
- お返事ありがとうございます！承りました！円盤の慣性モーメントはなぜI_zz＝MR^2/2なのですか？ -- はじめ?
- それは計算してあるんだから本を見てください。 -- 前野?
- お返事ありがとうございます！慣性モーメントがI_zzであるというのは、x,yの慣性モーメントはx,yのωが0になるから考えないということでしょうか？ -- はじめ?
- なんか慣性モーメントの意味自体がわかってないのではないかと不安になりますが…。そもそも「考えない」と「０になる」は全く別の話なので、「０になるから考えない」ってことでは全然ありません。「x,yのωが０になるから考えない」というのは、まるで「x,y方向には動かないからその方向の質量は０とする」というのと同じぐらい、おかしな考え方です。 -- 前野?
- 当然ですが、円盤の場合、$I_{xx},I_{yy},I_{zz}$は、全て０ではないです。慣性モーメントは形で決まるので、動くか動かないとは無関係に、あるものならあります。 -- 前野?
- お返事ありがとうございます！I_xxやI_yyも慣性モーメントでありながら、円盤の慣性モーメントがI_xx、I_yyではなくI_zzなのはどうしてでしょうか。煩わしくてごめんなさい。 -- はじめ?
- 完全に勘違いしておられるようです。$I_{xx},I_{yy},I_{zz}$は、全部「円盤の慣性モーメント」です。「よくわかる初等力学」、あるいは他の本のどこかに「$I_{xx},I_{yy}$は円盤の慣性モーメントではなく、円盤の慣性モーメントなのは$I_{zz}$だけである」というふうなことが書いてありましたか？？ -- 前野?
- 慣性モーメントは「どの軸で回すか」によって違うので、$I_{xx},I_{yy},I_{zz}$は全部立派な「円盤の慣性モーメント」です。「$I_{xx},I_{yy}$は円盤の慣性モーメントではない」と書いてある本なんてないと思いますが。 -- 前野?
- 書いていて思ったのですが「円盤の（ｚ軸回りに回す場合の）慣性モーメントは${1\over2}MR^2$」の（ｚ軸回りに）の部分を読み落としてたか、読んだ本では（軸回りに）が暗黙の了解になっていた、とかそういうことでではないですか。 -- 前野?
- とにかく、何か勘違いをしておられるようなので、慣性モーメントの定義からもう一度本を熟読し直した方がよいと思います。 -- 前野?
- お返事ありがとうございます！軸周りの、という言葉を読み落としていたようです。回転物体について理解が甘いので熟読します。 -- はじめ?
角運動量と角速度の関係 †
はじめ? (2016-09-13 (火) 15:26:37)
p234の(8.13)では角運動量と角速度は平行となったのにp241以降では平行とならないのはなぜですか？
- (8.13)は質点の式で、241ｐのあたりからは質点でなく剛体の話をしている、というのが違いですが「なぜ」というのいうのは何が知りたいのでしょう？？ -- 前野?
- たとえば質点の運動ですが２３５ページの右側の図のような$\dot \phi\neq0$でθが一定の運動をしている場合を考えると、角速度はｚ軸周りに見えますが、角運動量の方向は違います。むしろ角速度と角運動量が同じになるのは「素直な回転」をしているときだけ、とも言えます。 -- 前野?
- レスがおくれてごめんなさい。そもそもの理解ができていないので、もう少し質問をさせていただきます。角速度というのは軸のことでしょうか？ -- はじめ?
- ？？？ 角速度というのは「軸の周りに単位時間あたりに回転する角度」ですから、軸そのものとは別です。 -- 前野?
- 軸の向きも含めて表現する時は、(8.13)にもあるように、$\dot\theta\vec{\mathbf e}_\phi - \sin\theta\dot\phi\vec{\mathbf e}_\theta$とベクトルで表現します（ベクトルの向きが軸の向き、ベクトルの長さが単位時間あたりの回転角度）。 -- 前野?
- お返事ありがとうございます！ p235の下から三行目の「つまり」というのがわかりません。お教えください。 -- はじめ?
- 「つまり」がわからない、というのは「角速度ベクトルの向きが回転軸の方法である」という意味がわからないということでしょうか？たとえば$\dot\theta\neq0$で$\dot \phi=0$なら角速度ベクトルは$\vec{\mathbf e}_\phi$の方向を向きます。これが「軸の方向」だという意味ですが。 -- 前野?
- dΦ/dtが0のときはe_Φベクトルが軸となるのがわかるのですが、dΦ/dt≠0、dθ/dt≠0という状況はどうでしょうか？そんな場合はありえないのでしょうか？ -- はじめ?
- もちろんありえますし、そのときはその状況に対応した軸があります。「ありえない」なんてことはありません。 -- 前野?
- お返事ありがとうございます！その時、θベクトル方向Φベクトル方向に運動している思うのですが、その軸もθベクトル、Φベクトルを使って表せるのですか？ -- はじめ?
- もちろん表現できますが、運動している方向と軸は別の向きですよ。 -- 前野?
- お返事ありがとうございます！軸は運動方向とは垂直だとおもうのですが、θベクトルとΦベクトルで張られるの平面上に軸があるのは違和感はありませんか？ -- はじめ?
- 平面上？？？いや平面上ってことはなく、いろんな方向向きますけど。$\vec{\mathbf e}_\theta,\vec{\mathbf e}_\phi$は質点のいる場所によっていろんな方向向くので、いろんな方向を向けます。 -- 前野?
- お返事ありがとうございます！運動のベクトルをはke_θベクトル＋le_Φベクトルとあらわすときも、軸がae_θベクトル+be_Φベクトルとなるのですよね。(k,l,a,b,は実数) 軸のベクトルと運動のベクトルは独立ではないのでしょうか？ -- はじめ?
- すいません、根本的なところでなにか誤解されているようです。「運動のベクトルをはke_θベクトル＋le_Φベクトルとあらわす」というときの「運動のベクトル」って何ですか？？（速度？） -- 前野?
- 「運動のベクトル」というのが速度のベクトル（あるいは「運動量のベクトル」の間違い？？）のつもりなら、一般には$j\vec{\mathbf e}_r$のような項も入ります。 -- 前野?
- 角運動量を計算するときは、$\vec x\times \vec p$のように外積を取るので、角運動量のベクトルには$\vec{\mathbf e}_r$が入らなくなります。 -- 前野?
- 「運動のベクトル」というのが「速度ベクトル」もしくは「運動量のベクトル」の意味だったとしたら、「角運動量のベクトル」と「運動量のベクトル」は必ず直交するので、独立ではありません（御質問の意味がいまいち曖昧で困っているのですが、疑問はそういう意味でしょうか？） -- 前野?
- お返事ありがとうございます。質問が曖昧でごめんなさい。運動のベクトルというのは速度のことでした。軸が運動と垂直になるのは納得いたしました。軸(角速度ベクトル)の大きさが単位時間あたりの回転角度になるのがよくわかりません。 -- はじめ?
- 角速度ベクトルの大きさが回転速度の大きさというのも納得いたしました。ありがとうございます。長くなってしまいましたので、当初の疑問は再び題をつけて投稿させていただきます。 -- はじめ?
- 当初の疑問についてなのですが、各質点について角運動量と角速度ベクトルが平行ならば剛体の角運動量と角速度ベクトルは平行なのではないか、というものでしたが、原点を変えてはいけないので、各質点ごとにも成り立たないことを自覚しておりませんでした。今となっては納得しております。お忙しいところ長く付き合ってくださり、毎度のことながら至極感謝しております！ -- はじめ?
- すいません、掲示板の調子が悪くて書き込みがうまくできてなくて申し訳ありません。とりあえず納得できたようでよかったです。 -- 前野?
エネルギーについて †
りょう? (2016-09-10 (土) 20:43:43)
連続で申し訳ありません。
運動量の変化＝力積の式について「時間積分した」というのはなんとなくですがわかるのですが、なぜ運動方程式を空間積分したのでしょう？
そうしないとエネルギーという概念が出てこないのは分かりますし、エネルギーという概念が便利なのは問題を解いていて非常によくわかるのですが…
宜しくお願い致します。
- それはもちろん、おっしゃる通り「エネルギーという概念が便利だから」です。もうひとつ前の段階だと「仕事」という概念が便利だから、ということになります。 -- 前野?
2つの物体の衝突について †
りょう? (2016-09-10 (土) 19:49:42)
2つの物体が正面衝突して、2つとも向きを変えて運動した（例えば、Aという物体は左から右に運動していたが左に運動し、Bは右から左に運動していたが衝突後、左から右に運動した）場合、それぞれの物体の運動量は変化するはずです。（少なくとも、向きが反対になってしまうので、衝突前と衝突後の速さが同じでも向きが異なるはずですから）
その場合、「運動量の変化＝力積」が適用できるのですか？
「衝突による力」は「外力」とみなしてよいのでしょうか？
長くなってしまいましたが、宜しくお願い致します。
- というか「運動量の変化＝力積」が適用できない場合というのはないです。衝突による力であろうがなんだろうが、外からかかる力は「外力」と考えていいです。 -- 前野?
- お返事ありがとうございます。理解できました。 -- りょう?
作用反作用について †
はじめ? (2016-09-01 (木) 03:26:39)
作用があれば反作用があるとのことを拝読したのですが、作用反作用によって力学的波動の説明はできるのでしょうか？
考えたことを画像にしましたので添えさせていただきます。それぞれ最初のhを抜いてあります。ttp://www.fastpic.jp/images.php?file=6697958351.jpg
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