「よくわかる初等力学」（東京図書）サポート掲示板３ †
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極座標での運動方程式 †
はじめ? (2016-10-30 (日) 12:30:55)
運動方程式を書く時にあらかじめdr/dt＝0などの情報を知っている状態ですが、その情報がない時にはどのような運動をするのかを運動方程式から推測することは出来るのですか？
- この（dr/dt=0）というのは初期条件という意味ですか？？ 初期条件が決まらなければいくら運動方程式が解けても運動はわかりません。 -- 前野?
- ずっとdr/dt＝0、つまりP169やp171のような場合、あらかじめ円運動するということがわかっていますが、そうではない時は運動方程式をどのように積分して運動を決定するのですか？また運動方向と垂直な一定の力を受けている続けている場合は必ず円運動になるのですか？ -- はじめ?
- 疑問に思われていたのはそっちの方でしたか。何が問題なのかわからなかったので初期条件どうこうと、上に書きましたが、それは質問の内容とは違う答えになってました。p169の場合は糸でつながれていて糸の張力は運動の様子によって決まります。そして、糸がたるまない状況では、円運動しかできません。「あらかじめわかっている」というよりは「円運動しかできない場合」を選んでます。 -- 前野?
- ｐ１７１も同様で、「糸でつながれている」という拘束のついた運動ですから、運動方程式を解く前から円運動することは決まってます。 -- 前野?
- p169とp171の場合は運動方程式の問題というよりは「状況設定の問題」ですね。円運動しかできない状況に置かれているという意味で。その状況設定に合うように、糸の張力Tが決まります。 -- 前野?
- 次に、「また運動方向と垂直な一定の力を受けている続けている場合は必ず円運動になるのですか？」ということですが、これは運動方程式の問題で、その条件がずっと満たされていれば円運動になります。 -- 前野?
- で、最初の疑問に戻りますが。もし状況設定が円運動になるようなものでないなら、その場合に応じた運動方程式を立てて解くことになります。dr/dt=0になるかどうかは状況次第です。 -- 前野?
- 運動方向と垂直な一定の力を受け続けている場合はなぜ円運動になるのですか？たとえばdr/dt ＝0かどうかわからない時ttp://www.fastpic.jp/images.php?file=7261708710.jpgのように一定の張力が加えられている時、どのように積分すれば位置の関数になるのですか? -- はじめ?
- 訂正です。Tではなく－Tでした。 -- はじめ?
- この$m\left({d^2r\over dt^2}-r\left({d\theta\over dt}\right)^2\right)=-T$という式では式が足りません。２次元の運動なら、もう一つの運動方程式が必要です。２次元の運動なのに１個しか方程式を立ててないのでは、答えは出ません。 -- 前野?
- これはｒ方向の式ですから、θ方向の力が０であるという式も立てて計算していく必要があります -- 前野?
- そのやり方は、(5.17)から(5.18)、さらにその下へと続く部分に書いてありますので見てください。 -- 前野?
- なお、より一般的な「力が運動方向と垂直で一定なら円運動」を示すには以下のように考えます。（１）力と運動方向が垂直ならその力は仕事をしないので、運動エネルギーは変化しない。（２）ということは速さは変化せず、向き、すなわち運動方向の角度だけが変化する。（３）さらにその力が一定なら、単位時間あたりの運動方向の角度の変化も一定のはず。よって円運動。 -- 前野?
- (5.17)の式はdr/dt ＝0 、d^2r/dt^2＝0解くことが出来るのでしょうか？ -- はじめ?
- (5.17)の式はdr/dt ＝0 、d^2r/dt^2＝0がわからなくても解くことが出来るのでしょうか -- はじめ?
- つまり、糸で繋がれていなく(原点からの距離が一定かどうか不明な状況)、何らかの一定の力がr方向にずっとかかっており、初速度がvベクトルであるという情報を元にどのような運動か解くことができるのでしょうか？ -- はじめ?
- まずは円運動であることを(1)～(3)のように確認してからではないと解けないのでしょうか？ -- はじめ?
- 「糸で繋がれていなく(原点からの距離が一定かどうか不明な状況)、何らかの一定の力がr方向にずっとかかっており、初速度がvベクトルであるという情報を元にどのような運動か解くこと」はできます。 -- 前野?
- ただし、その場合円運動でない可能性はあります。円運動が実現するためには、その「何らかの一定の力」がちょうど$mr\left({d\theta\over dt}\right)^2$でないといけません。 -- 前野?
- 原点を中心とした円運動になるためには$T=mr\omega^2$でなくてはいけない、というのは169ページの一番下にも書いてありますね。 -- 前野?
- 画像のように円運動している物体を中心にΔrだけ引く時は速さが変化しますが、この場合は力は運動方向に垂直ではないから仕事をするのですか？この時の仕事はFΔrなのでしょうか? -- はじめ?
- 糸につながれていない状況なら状況に応じて運動方程式を解けばいいだけのことです（ただし、積分ができないような式だと解析的には解けなくなりますが）。 -- 前野?
- 画像をわすれてました。ttp://www.fastpic.jp/images.php?file=8258318961.jpg -- はじめ?
- 運動方向に垂直でない力は当然仕事をしますから、そのときは速さが変化します。当然です。実際、惑星の運動では太陽に近付くほど速くなりますよね。それと同じです。 -- 前野?
- 半径が小さくなると速くなる、という話は170ページに書いてあります。 -- 前野? &new([nodate]){date}: Invalid date string;
- T＝mrω^2であることは円運動に必要ですが、初速度はどのようでもよいのでしょうか？ --
- 初速度でωが決まり、そのωでTが決まるんですから「どのようでもよい」ってことはないんでは。 -- 前野?
- ああ、そうか、「どんな初速度でもそれに応じてTが決まるから大丈夫」という意味なら「どのようでもいい」です。 -- 前野?
- (5.17)でrの速度と加速度が0かどうかわからないときに、解析的に解く方法以外にどのようにして解くのですか？ -- はじめ?
- (5.17)でrの速度と加速度が0かどうかわからないときに、解析的に解く方法以外にどのようにして解くのですか？ -- はじめ?
- 数値的に。つまりコンピュータで。 -- 前野?
- となると、極座標での運動方程式というのはあらかじめ円運動である事を知っていなければほとんど使い物にならないのですか？ -- はじめ?
等速円運動 †
はじめ? (2016-10-29 (土) 19:02:17)
物体に向心方向の力を加えているのに、なぜ向心方向に加速しないのですか？
角運動量保存則について †
ちゃまろ? (2016-10-29 (土) 18:37:44)
よくある実験で回転している車輪を持ち、車輪の向きを変えると回転台に乗った人間が回るというものがあります。この現象を「人間に働く力」を考えることで説明したいのですが、人間は車輪の持ち手からどのような力を受けることで回転し始めるのでしょうか？
- 実際にやってみたことありますか？ あるなら、手に捻られるような感じで手のひらに力が不均一に（場所によって違う）力が働いているのがわかると思います。要は保持している手とのあいだの垂直抗力と静止摩擦力が場所により違う分の力です。 -- 前野?
- なぜ不均一になるのですか？ 静止摩擦力が働くのは、車輪の回転によって、車輪の中心の留め具に摩擦力が発生するからですか？ もしそうなら理想的な（留め具との摩擦0）状態では人間は回らないのでしょうか？ -- ちゃまろ?
- 不均一になるのは、「車輪の向きが変わったから」つまり車輪に角運動量の変化が起こったからですから、理想的なら人間は回らないなんてことには絶対なりません。角運動量保存則というのはそんな「場合によっては成立しなくなる」ようなものじゃないので。 -- 前野?
- 車輪の留め具の摩擦もまったく問題とは関係ありませんので、ないと思って考えてください。 -- 前野?
- 車輪の向きが変わるということは、車輪の持っている角運動量を変えるということなのだから、なんらかのトルク（力のモーメント）が車輪に掛かるはずで、そのとき作用反作用の法則で車軸に、そして手に逆向きのトルクが掛かるというのがこの話の肝心なところです。 -- 前野?
- なるほど。よくわかりました。ありがとうございます。 -- ちゃまろ?
P314 †
はじめ? (2016-10-27 (木) 23:55:05)
上から9-11行目で、特にE_0＝－GMm/2r_0(最低点)の時は円運動となる とあるのですが、これ以上位置エネルギーが減ることが出来ないので運動エネルギーは0で静止ではないのですか？ またEというのは位置エネルギーと運動エネルギーの総和ですよね？
- ここの話の状況設定を理解されてないようですが、ここでは(11.15)で角運動量が保存することがわかったので、その角運動量が０でない値になっている場合を以下で考察してます。よってその条件のもとでエネルギー最低を考えても、惑星は止まりません（止まるってことは角運動量が０だということ）。Eは勿論エネルギーの総和です（定義は11.17ですから）。 -- 前野?
- r方向の運動エネルギーが0ということですね。Φ方向には運動しているのですね。 -- はじめ?
- ｒ方向に運動してないから「円運動」になります（でなかったら楕円運動）。 -- 前野?
章末演習問題５－２について †
物理独学者? (2016-10-20 (木) 23:35:27)
すみません、（２）の単位時間にロープをたぐる長さを求める問題ですが、付録Fにある解答$v\cos\theta$は、たぐる間の$\theta$の変化が微小であるとした場合の近似である、という認識で合っていますか。
実際、それで計算すると、上記解答のとおりになります。
よろしくお願いします。
- すいません、うっかりしてて解答遅れました。その考えでもいいですが、つまりは微分なので「その一瞬での値」を求めているということです。 -- 前野?
- ご教授ありがとうございます。$dt$と$d\theta$の関係を表すと、単位時間$dt$の間にボートは$v･dt$だけ進む。その間の$\theta$の微小変化$d\theta$は、（$dt$時間後のロープの長さを$L_2$とすれば）$L_2･d\theta = v\sin\theta･dt$である。$d\theta$は$dt$と同次の微小量なので、その一瞬では0となり、考慮しなくてよいということですね。 -- 物理独学者?
p105の3.18式について †
けい? (2016-10-20 (木) 23:08:09)
yの積分の範囲にy0というのが出てきているのですが、y0をつける意味がよくわかりません。y0を入れずに0〜l×x/hが積分範囲ではいけないのでしょうか？
- すいません、解答遅れました。ここは平行移動して考えるならば0からの積分でも構わないです。ただ、実は各点でのｙは０から始まっているわけではない（図を見てください）ので、その始まりとして$y_0$ という文字を使ってます。 -- 前野?
P173 (5.33)の式について †
はじめ? (2016-10-15 (土) 02:48:05)
2rcosθ*dθ/dt*dΦ/dtという項はどうやって出てきたのですか？私はrcosθ*dΦ/dtとなったのですが。
- 問い5-6の解答で計算しているのでそれを見て欲しいのですが、一階微分の段階で$r\dot\theta\vec{\mathbf e}_\theta$という項と$r\sin\theta\dot\phi\vec{\mathbf e}_\phi$という項があります。 -- 前野?
- 前者の$\vec {\mathbf e}_\theta$の部分を微分した結果と、後者の$\sin\theta$を微分した結果の両方に、$r\cos\theta \dot\theta\dot\phi\vec{\mathbf e}_\phi$が一個ずつあります。 -- 前野?
- 時間で二階微分しているので、$r\cos\theta{\mathrm d\phi\over\mathrm dt}$のような、時間微分が一つしかない結果は出ないはずです。 -- 前野?
- e_θベクトルを微分するとなぜcosθが出てくるのですか？二次元極座標のようにいかないのですか？ -- はじめ?
- 実際に370ページの(C.13)式を微分してください。そうすればなぜ二次元極座標のようにいかないのかもわかると思います。 -- 前野?
- 納得いたしました！ありがとうございます！ -- はじめ?
P311 惑星の運動の換算質量 †
はじめ? (2016-10-12 (水) 21:31:50)
前に、質問し、解決したと思われたのですが、していなかったので、再度質問します。
角運動量において(8.13)にの質量の部分に換算質量を代入しても良い理由について、p303の(10.36)のような式変形をご教示ください。
- 問い10-5の解答ではダメですか？ -- 前野?
- 角運動量が、重心の角運動量と相対位置での角運動量の和であることはわかっているのですが、その和である角運動量が保存する時に重心の角運動量と相対位置の角運動量の比が変わったりはしないのですか？(それぞれ別々にも保存するのですか？) -- はじめ?
- 重心の運動量が保存する場合を考えているなら、重心の角運動量も保存します。よって別々に保存する。 -- 前野?
- 重心の位置ベクトルは不変なのですか？前の質問で重心は楕円軌道だと先生は仰ったとおもうのですが。重心の運動量が保存し、重心の位置ベクトルが楕円軌道であるならばベクトル積は保存しないと思うのですが。楕円の時は運動量と位置ベクトルの垂直成分はかわりますよね？ -- はじめ?
- 重心がどう動くかは視点により違います。慣性系でみれば静止もしくは等速直線運動です。太陽を止める座標系なら楕円運動です。保存すると言っているのは慣性系の話です。 -- 前野?
- 等速直線運動だとすると位置ベクトルが一定ではないのでは？ -- はじめ?
- 等速直線運動では位置ベクトルは一定でないけど角運動量は一定になります。 -- 前野?
- それは232ページで説明してあります。 -- 前野?
- というか、等速直線運動している（つまり力を受けてない）のに保存しないとしたら、角運動量って「使えない」量になっちゃいます（力を受けないか、中心力を受けているときには保存するから、角運動量を考える意味がある）。 -- 前野?
- 重心の位置ベクトルは、二物体の運動量の和と同じ方向にしか増えないということですね！よくわかりました。ありがとうございます！ -- はじめ?
P141の電気容量について †
はじめ? (2016-10-10 (月) 00:50:26)
どんな導体でも形が変わらなければ、なぜ、QとVが比例関係にあるのですか？
- これは「よくわかる電磁気学」への質問でしょうから、転載して向こうで答えます。 -- 前野?
極座標の速度について †
はじめ? (2016-10-09 (日) 11:37:52)
まず、連投ごめんなさい。
2次元極座標において基底ベクトルe_rの微分がdθ/dt*e_θなのに対し3次元ではr*dθ/dt*e_r＋r*sinθ*dΦ/dt*e_Φのようにrをかけているのはなぜですか？？
- 位置ベクトルが$r\vec e_r$で、速度ベクトルはこの微分だからです。 -- 前野?
- 不注意でした。ありがとうございます。 -- はじめ?
P311 惑星の運動の換算質量 †
はじめ? (2016-10-09 (日) 10:44:14)
(11.14)の式が成り立つのはp303からわかるのですが、したから10行目に(8.13)にこれを代入するととあるのですが、このようにしていいのはなぜでしょうか？
また(11.14)の式のrというのはx(t)とは違うのですか？
- 10・4・1節及び問い10ー5をみてください。 -- 前野?
- $\vec x(t)$はベクトルで、rはその長さです。 -- 前野?
- 内力しか働いていないので、重心は静止したままだから、相対の角運動量だけ考えているのでしょうか？ -- はじめ?
- 重心は静止しているとは限らない、また静止してても重心の角運動量は0ではないですね。 -- はじめ?
- どうして重心ベクトルと重心の運動量ベクトルは平行なのですか？ -- はじめ?
- 換算質量を考えるときは、座表原点は中心ではなく、太陽に取っています。太陽は実は動いているけど、そこを静止していることにします。その無理やり静止すると考えた分の補正が、「質量をほんとうの質量ではなく換算質量だと読み直すこと」です。だからこの場合重心は動いているわけですが、それはもう運動方程式を書き換えてしまった後なのでいいです。 -- 前野?
- 「重心ベクトル」というのは「重心の位置ベクトル」のことでしょうか。だったら「重心の運動量ベクトル」とは平行ではないです。換算質量を使っている座標系では重心は楕円運動してます。 -- 前野?
- 中心力のみが働く場合 -- はじめ?
- ↑ミスです。 -- はじめ?
- ≫無理やり静止すると考えた分の補正が、「質量をほんとうの質量ではなく換算質量だと読み直すこと」です、とあるのですが無理やり静止すると考える時に、換算質量になる理由が分かりません。 -- はじめ?
- それは10.4.1節で説明していることなので、そちらを御覧ください。 -- 前野?
- 10.4.1では角運動量をそのように扱って良いかということは書かれていません。(10.36)のような説明はございませんか？ -- はじめ?
- 解決しました！ -- はじめ?
章末演習問題8-5について †
関? (2016-10-03 (月) 20:08:11)
(1)については同じ回転軸まわりということで一体となる前の角運動量の和が一体となった後の同じ回転軸まわりの角運動量となることは納得できるのですが(2)の解答においては右辺は2つの円盤の重心まわりの角運動量、左辺はそれぞれの円盤のそれぞれの回転軸のまわりの角運動量の和のように私には見えてしまい、この式の等号関係が理解できません。なぜ左辺と右辺の間に等号関係が成り立つのか教えていただけないでしょうか。
- これはどちらも重心周りの角運動量です。合体前は並進運動量がないので重心周りで計算しても左辺のようになります。 -- 前野?
- 左辺の角運動量の値も二物体の重心から観測した値ということでしょうか? -- 関?
- またそうならば、二物体の重心からみた慣性モーメントは平行軸の定理より簡単に導出できますが、平行軸の定理により新たにもとめた二物体の重心からのz軸まわりの慣性モーメントとωの積を二物体の重心からみた角運動量とすることはなぜ出来るのですか -- 関?
- すみません。このしつもんは左辺の一体となる前に関しての疑問です -- 関?
- はい、そういうことです。軸が重心ではない場合の角運動量や慣性モーメントについては例えば8.4.1節で計算していますが、重心以外を通る軸の場合は、重心まわりの角運動量＋重心の移動による角運動量となりますが、重心が移動してなければ第２項は０です。 -- 前野?
- ちょっと間違えたことを書いたので消して書き直します。重心の周りに回転している剛体の各部分は、$\omega \times(\vec x-\vec x_g)$という速度を持って運動することになります。 -- 前野?
- なので、この部分の持つ角運動量は$\rho \mathrm dS\vec x\times(\vec \omega\times(\vec x-\vec x_g))$となり、これを積分すると全角運動量が出ます。 -- 前野?
- ここで$\vec x =(\vec x-\vec x_g)+\vec x_g$とあえて二つに分けて、まず$\int \mathrm dS \rho (\vec x-\vec x_g)\times(\omega\times(\vec x-\vec x_g))$を計算すると、これは重心回りの角運動量です。 -- 前野?
- 任意の点からの角運動量も質量が剛体の重心に集まった場合の角運動量と重心まわりから観測したものとの和で表されることが理解できました。こんなにはやくわかりやすく説明してくださりありがとうございました。 -- 関?
- 残りは$\int \mathrm dS\rho \vec x_g\times(\omega \times(\vec x-\vec x_g))$ですが、ここで定数と定数ベクトルを外に出すと、積分すべき量は$\int \mathrm dS\rho (\vec x-\vec x_g)$です。こいつは重心の定義により０です。 -- 前野?
- 書き直しを投稿している間にわかっていただいたようですが、本文でもこのあたりはちゃんと説明すべきでした。すみません。 -- 前野?
- 質問が重なってしまい申し訳ありませんが、一体となった後の回転の中心がその重心なのは運動量保存則の重心速度一定から確かめる他ないのでしょうか。 -- 関?
- それは重心速度一定というか、「重心が移動しない」ということから出すのが一番いいです。 -- 前野?
- 他にあるか、という意味では、たとえばそれぞれの円盤のもつ並進速度を変数でおいておいて保存則を適用すると並進速度が重心の回りを回る回転になることが示せる、ということになるでしょう。結局どんな計算をしてもやっていることは重心が移動しないということを確認する計算になると思います。 -- 前野?
- 丁寧にありがとうございました。 -- 関?
- 丁寧にありがとうございました。 -- 関?
重積分について †
関? (2016-10-01 (土) 16:32:23)
この参考書では例題(8-1)で三つの慣性モーメントの計算例があげられていますが中空円筒で変数変換をするのは積分区間の関係からとうけとっていたのですが、楕円体の慣性モーメントの算出の式が直方体の式と一緒にならず、変数変換を必要とするのはなぜでしょうか。微小体積の値が変化するからこのような操作が必要と考えてもいいのでしょうか。数学の質問でもうしわけありません。
- これについてはヒントに書いてある通りで、「微小体積の値が変化するから」というふうに考えてます。 -- 前野?
- ご教授ありがとうございました。 -- 関?
バネのエネルギー保存則について †
ぽち? (2016-09-24 (土) 23:44:36)
バネの力、F＝（-kx,0,0）は∇×Fによって保存力であることが言え、ポテンシャルが定義できます。
当然、力学的エネルギー保存の法則が成り立つと思うのですが、どのように証明すれば良いのでしょうか。
また、エネルギー保存の法則が成り立つとき、「x軸上でバネの先端に物体をつないで、バネを押し縮めたあと、手を離した」といった状況を考えたいのですが
原点において位置エネルギーが0だから押し縮めた時に持っていた位置エネルギーが全て運動エネルギーになったということになります。
しかし、その場合、原点にバネが戻ってきたときに1/2 mv^ ≠ 0、つまりvを持つことになります。
原点で、物体には力は働かないので、慣性の法則により物体はそのまま運動することになると思うのですが（原点をすぎるとバネから力を受けるので減速し、やがて静止し、戻ってくると思うのですが）どうなのでしょうか。
1度に2つも申し訳ありません。宜しくお願い致します。
- エネルギー保存則の証明については一般的な話が第７章頭から書いてあるわけで、それにバネの場合を当てはめればよいだけです。一般的な話でわからないところがあるのでしたら質問してください。 -- 前野?
- 押し縮めて手を離した、という状況なら単振動が続きます。振動の話は第９章の頭あたりに書いてありますので読んで下さい。 -- 前野?
- すみません、理解できました。ありがとうございました。 -- ぽち?
p244の8行目の記述について †
関? (2016-09-22 (木) 12:50:34)
「剛体のうち、位置ベクトル→xの位置にある微小部分の速度は（→ω）×(→x)という形に書かれる。」とありますが、ここで言う速度とは回転に作用する速度ということでしょうか。また、今ここでのx軸y軸z軸はθの変化が0になるようにうまい具合にとってあるとおもって間違いないでしょうか。
- 「回転に作用する速度」というのは意味がわからないです。ここでの速度は普通の意味での「速度」です。このような式になるのは座標にはよりません。 -- 前野?
- 状況としてはここで剛体は回転運動だけをしている場合を考えています。 -- 前野?
- 「回転に作用する速度」とは速度のΦ方向の成分のつもりで書きました。剛体の角速度ベクトルをω(ez)として位置ベクトルr(er)と外積をとるとrωsinθ(eΦ)という値になります。ですが、同一の位置の角速度ベクトルをp236にある質点の角速度ベクトルをもちいて角速度ベクトルと位置ベクトルの外積をとるとr(dθ/dt)(eθ)+rωsinθ(eΦ)という値になります。この2つの結果を見比べ(dθ/dt)=0となれば2つの値はいっちすることからθが変化しないように座標をとっているのではないかと考えました。 -- 関?
- 回転運動だけをしている場合とは、速度はΦ方向のみしか持っていない場合をかんがえているということでしょうか -- 関?
- p245で扱っているωは積分後も形を変えずくっついていますがωは時間変化しないベクトルでしょうか -- 関?
- うーんと。剛体の運動はφ方向のみではないです。少なくとも角速度を表すベクトルは２つの自由度があります（θとφ）。角運動量ベクトルをｚ方向と決めてしまった場合ならば、速度はφ方向のみといっていいでしょう。角運動量がｚ方向だ、と決めてしまった時点で計算するまでもなくθ方向の速度はないです（θ方向に速度を持てば角運動量ベクトルにｘ成分やｙ成分が生まれるので）。 -- 前野?
- このあたりで扱っているωは「ある一瞬での値」で、計算している量はすべてその「ある一瞬での値」です（慣性モーメントなども）。積分は空間座標で行っているので、時間変化しているかしてないかには関係ありません。 -- 前野?
- 回転運動だけをしている場合、の意味については２３７ページの図を見てください。 -- 前野?
- 角速度ベクトルと位置ベクトルとの関係についてまだまだ不足がありそうですが他のところの疑問は解消されました。もう少し考えてみようとおもいます。 -- 関?
慣性モーメントについて †
はじめ? (2016-09-21 (水) 01:59:37)
演習問題8-1でそれぞれ慣性モーメントを算出しましたが、回転の軸が物体の中心でないときの角運動量を算出するときに、8-1で算出した慣性モーメントは用いることは出来るのでしょうか？
- その場合は8.4.1の平行軸の定理のような計算をして慣性モーメントを変換します。 -- 前野?
- お返事ありがとうございます！例えばですが、p262の(8.69)はどのような計算をしているのでしょうか？ -- はじめ?
- その式のすぐ上に説明ある通りの計算なんですが、どのような点が不明でしょうか？？ -- 前野?
- お返事ありがとうございます！まず、球の慣性モーメントが2mR^2/5というのがよくわかりません。p250で球の慣性モーメントば算出されていますが、この場合は球の中心が軸となる場合の慣性モーメントであるので、軸が移動してもそのままの値を使えるのかがよくわかりません。平行軸の定理を使おうと思っても、重心が二物体の真ん中にあるので。また、共通重心のところの扱いもよくわかりません。 -- はじめ?
- 軸が移動した場合は「重心を原点として計算した慣性テンソルと、重心に全質量が集中したとして計算した慣性テンソルの話である」というが平行軸の定理（p247）です。これ、球の片方を当てはめます。 -- 前野?
- 片方の球を考えると、重心を原点として計算した慣性モーメントが${2\over 5}mR^2$です。重心に$M$が集中したと考えると、この球の重心と共通重心は$R$離れているから、$mR^2$を足せばいいです。以上の計算は片方の球の場合なので、両方ならば２倍します。 -- 前野?
- とまぁ以上の通り、片方ずつ考えればいいわけです。「軸が移動しても使えるのか」という点ですが、軸が移動したときにこうやればいいよ、というのが平行軸の定理なので、ここがわからないとすると平行軸の定理がどうやって出てきたがが理解できていないということだと思いますので、そのあたりを読み直してください。 -- 前野?
- お返事ありがとうございます！わかりました。よく読み直します。たすかりました。 -- はじめ?
書き込み時刻が被ってしまって挿入場所がづれてしまったようです。こちらに返信がいただけるとうれしいです †
関? (2016-09-20 (火) 18:27:25)
p241の剛体の問題設定の場合、剛体棒を細かくわけて1か所ずつで先の質点同様位置ベクトルから運動量ベクトルに右ネジをまくようにして軸を考えると原点以外の場所では全て軸は-eθを向くように思えてしまうのですが、ここでの軸はZ方向と書いてあります。剛体を扱うにあたって何が原因となってこのようになってしまったのかわかりません。教えていただけないでしょうか
- 剛体の場合の「軸」は質点の場合の軸とは定義が違います。 -- 前野?
- 問題は「原点以外の場所では全て$\vec{\mathbf e}_\phi$を向く」というのは、剛体を分割した一個一個の質点に対しては正しいですが、$\vec{\mathbf e}_\theta,\vec{\mathbf e}_\phi$は場所によって違う方向を向いているので「どこでも$-\vec{\mathbf e}_\theta$というのは実は「どこでも同じ方向」ではないということです。 -- 前野?
- ですから、剛体が「ｚ軸周りに回っている」というとき、剛体を分割した各点各点の角運動量ベクトルはいろんな方向を向いていて、それを足し算した（積分した）結果がｚ軸方向を向く、ということになります（剛体の角運動量や回転軸は、全体の運動を見て決まるものとして定義されているわけです）。 -- 前野?
- 質点における回転軸とは刻一刻と向きをかえるもの。剛体の回転軸とはある回転を想定して各位置での質点同様にもとめた軸をその回転動作すべてにおいて足し合わせた向きを持つもの。というように、全く別のものとして認識してよいでしょうか。前者の軸は角速度ベクトルと速度ベクトルの外積により回転に関与する速度ベクトルを抜き出せる点が素晴らしいようにおもえるのですが、後者にも何かこの先にうまみがあるのでしょうか -- 関?
- 質点が剛体かの違いでなく「外から力のモーメントがかかっている場合」は「回転軸（というか角運動量）は刻一刻と向きを変えるもの」ということになります。 -- 前野?
- ２３５ページの右の図のような「θが変わらずφが変化する」という回転の場合、物体には回転の中心（原点ではない）に向かう力（たとえば紐につけてくるくる回しているなら、紐の張力）がかかっていますが、その外力は中心力じゃない（原点を向いてない）ので、力が０でないモーメントを持っている。だから角運動量（軸）が変化するわけです。 -- 前野?
- 剛体の場合も外から力がかかっていてモーメントを持っていれば角運動量が変化します。剛体の各点各点を分割すると、その各点の持つ角運動量は（外力が０である場合も）変化しています。しかしそれは内力による変化なので、剛体全体で足し算すると消えて、「外力がないなら剛体の角運動量は保存する」となります。 -- 前野?
- 剛体の角運動量も計算法自体は質点と同じ（最後に積分するだけ）ですが、内力によるモーメントは積分で消えるので外力のモーメントだけ考えればよくなる、というのがうまみということになるでしょうか。 -- 前野?
- たいへん詳しくありがとうございます。理解がすすみました -- 関?
P260の問8-5について †
はじめ? (2016-09-20 (火) 18:00:56)
前にもお伺いしたのですが、解決しきれていなかったので再度質問させていただきます。解答の図で回転方向を逆にするとコマの回転による角運動量は右上向きなのに対し、動摩擦力によるモーメントは右下向きです。動摩擦力によるモーメントは軸が倒れる向きなのではないでしょうか？
また、p95にあるように力とモーメントがつりあっている時には原点は任意でよいことが書かれていますが、コマの場合モーメントはつりあっていないので、どこを原点に取れば良いのかわかりません。どこを原点とすればよいですか？
- 回転方向が変われば角運動量が替りますから、角運動量ベクトルは左下を向きます。動摩擦力のモーメントは右下向きなのはそれでいいです。 -- 前野?
- モーメントの原点をどこにとってもいいのはつりあってなくても同じです。そもそも「原点」などという人間の都合で物理法則が替わったりはしないものです。ですから原点はどこでもいいですが、重心に取ると重力のモーメントが０になるので少し計算で楽ができるので、重心に取ってます（他にしたければそうしてもよい）。 -- 前野?
- p241の剛体の問題設定の場合、剛体棒を細かくわけて1か所ずつで先の質点同様位置ベクトルから運動量ベクトルに右ネジをまくようにして軸を考えると原点以外の場所では全て軸は-eθを向くように思えてしまうのですが、ここでの軸はZ方向と書いてあります。剛体を扱うにあたって何が原因となってこのようになってしまったのかわかりません。教えていただけないでしょうか。 -- 関?
- お返事ありがとうございます。倒れる向きに角運動量は増加するという解釈になってしまいそうなのですが、それで良いのでしょうか？ -- はじめ?
- また、原点をコマの先にとると動摩擦力のモーメントは0になるのではないでしょうか？ -- はじめ?
- 「倒れる向きに角運動量は増加する」？？？ ってどういう意味だろう？？？ もちろん、どっちの回転方向であろうが、摩擦力は「コマを立てる」方向の力になるのですが。 -- 前野?
- 動摩擦力のモーメントは「接地点」を原点に取れば０になりますね。その場合は角運動量も接地点を原点として考えるので複雑な量になり、計算が面倒になりそうです。 -- 前野?
- お返事ありがとうございます。「倒れる向きに角運動量は増加する」というのは勘違いでした。力がつり合っているか、モーメントがつりあっているか、ということをにかかわらず、にかかわらず原点を変えることが出来るのですね。コマの先に原点を置いた時に、軸を鉛直に戻すモーメントは存在するのでしょうか？ -- はじめ?
p236の右図について †
関? (2016-09-20 (火) 16:07:21)
この図に回転軸は-eθを向くと記述されていますが、私には回転軸はZ軸方向、角運動量が-eθを向くように思えるのですがこれは勘違いでしょうか。
- 質点の話の場合、回転軸と角運動量に差はありませんので、どちらも$-\vec{\mathbf e}_\theta$方向です。 -- 前野?
- この場合の「回転軸」というのは236ページの図の右に書いている円盤に垂直な軸、ということになります。円盤は「（これまでの履歴とは関係なく）この瞬間に物体の速度が向いている方向を含む面」にあるするように書かれています。 -- 前野?
- 図がｚ軸を周りに回っているように描かれているので「回転軸」がｚ軸のように思えてしまう（このあたりの区別をきちっと書いておかなかったのは私の失敗）んですが、ここで「軸」と呼んでいるのはあくまで、$\vec \omega$の向きです。 -- 前野?
p239について †
関? (2016-09-19 (月) 21:38:47)
ページ最下部に「任意の角度でも計算してみると良い」と書いてありますが、任意の角度の場合もその時の棒の位置に沿ってy軸を置けば計算結果が変わらないことは納得出来たのですが、座標軸の設定を変えずに、例えばπ/4回転した後の角運動量を計算したい場合はどのように数学を使えばいいのかわかりません。教えていただけないでしょうか。
- その場合、距離の自乗が$x^2+y^2$になります。積分は$x$か$y$かどちらかで行います。たとえば、$x$を$-{A\over 2\sqrt{2}}$から${A\over 2\sqrt{2}}$のように（角度が${\pi\over 4}$なら）。この場合、$x$を決めれば$y$が決まるから、$y$を$x$で表して（${\pi\over4}$なら単純に$y=x$でよい）、代入してから積分します。 -- 前野?
- 任意の角度でも、$y=x\tan\alpha$みたいな感じで代入してから適切な範囲で積分すればちゃんと同じ答えになるはずです。 -- 前野?
- 丁寧にありがとうございます助かりました。 -- 関?
P260問2-5の解答について †
はじめ? (2016-09-19 (月) 08:16:04)
解答の図では動摩擦力によるモーメントが、Lベクトルを鉛直方向に向くようになっているのですが、回転の向きが逆なら倒れる方向にモーメントがかかるということでしょうか？
- 回転が逆なら角運動量も逆、動摩擦力の向きも逆なので、やっぱり戻す方向になります。絵でも描いて確認してみてください。 -- 前野?
- お返事ありがとうございます。なるほど。わかりました。ところで、解答ではなぜ動摩擦力のモーメントの位置を考える時に、原点を今まで通りのコマの軸の先端ではなくて、重心としてよいのでしょうか？ -- はじめ?
- モーメントの原点なんて、その時その時で便利な場所を選べばいいです。ということもどこかに書いたはず。: -- 前野?
- お返事ありがとうございます。P95ページにはモーメントがつり合っている場合と書いてあります。 -- はじめ?
P257の問8-4 †
はじめ? (2016-09-19 (月) 01:40:31)
M,m,I,Rの関数としてとあるのですが、fとf'はrの値にもよりますよね
- ああほんとだ。問題文にrを付け加えておいてください。 -- 前野?
- 承知いたしました！ -- はじめ?
接触面と仕事について †
はじめ? (2016-09-18 (日) 17:20:46)
接触面がうごいていないとはどういうことでしょうか？スケートのリンクの上で車の車輪が空回りして前に進めないのを想像すれば良いのでしょうか？
- どのページで悩んでいるのかがわかりませんが、144ページの図解を見てください。 -- 前野?
- お返事ありがとうございます！致命的なミスをしてしまいました。ごめんなさい。ページは255ページでFAQのところです。 -- はじめ?
- それなら、やはり144ページの図を見てください。「空回り」とは全然違います。 -- 前野?
- 地面がうごいていないということでしょうか？FAQではFは仕事ができないのではないか。とあるのですが、物体は常にFの力を受けながら逆向きに運動しているのでFが仕事をしているということではないのですか？ -- はじめ?
- いや。地面がどうこうではなく。144ページ読んでください。 -- 前野?
- この場合、接触面ではどちらもうごいてません。その説明が144ページにあります。 -- 前野?
- お返事ありがとうございます！地面に接しているタイヤの接触面が地面に対して静止しているということですね。静止摩擦力は仕事をしないということでしょうか？滑っていない状況が、「一瞬接触し、地面から離れていく」とあったのですが、動摩擦力でも接触しているのは一瞬なのでは、とおもったのですが、静止摩擦力がかかる場合、v＝Rωより確かに床の接触している部分の速度(接触している箇所が移動する速度、例えばp点で接していたのがq点に移る速度、その大きさがvにあたる。)とタイヤの接触している箇所の速度(その大きさがRωにあたる。)は同じとなって床に対して静止していることから(一瞬しか接触していないことから)静止摩擦力がかかるとわかり、動摩擦力の場合はv＞Rωとなって床の方が速いということになって動摩擦力がかかるということがわかる。のですね。 -- はじめ?
円盤の慣性モーメントについて †
はじめ? (2016-09-18 (日) 10:13:07)
円盤の慣性モーメントはなぜ1/2MR^2となるのですか？I_xx＋I_yy＋I_zzでMR^2ではないのですか？
- また、(8.45)のように計算すると、円盤の場合z方向に長さ0なので積分区間が0で慣性モーメントは0にはならないのでしょうか？ -- はじめ?
- 慣性モーメントの各成分を足し算しても意味がありません。 -- 前野?
- 長さが０とみなせる場合はいったん有限の長さ（ｃ）を与えておいて、計算が終わってからｃ→０の極限を取るべきです。そうやればちゃんと０にならないです。あるいは最初から２次元でやるなら、体積密度じゃなく面積密度を使った計算（８．５．２節ではこれをやっている）をやります。 -- 前野?
- 見直していて気づきましたが、(8.44)は間違っていますね。$I_{xx}=I_{yy}={\rho_{\scriptscriptstyle \mathbb S}\pi R^4\over 4}={MR^2\over 4},I_{zz}={\rho_{\scriptscriptstyle \mathbb S}\pi R^4\over 2}={MR^2\over 2},I_{xy}=0$と訂正してください。 -- 前野?
- お返事ありがとうございます！承りました！円盤の慣性モーメントはなぜI_zz＝MR^2/2なのですか？ -- はじめ?
- それは計算してあるんだから本を見てください。 -- 前野?
- お返事ありがとうございます！慣性モーメントがI_zzであるというのは、x,yの慣性モーメントはx,yのωが0になるから考えないということでしょうか？ -- はじめ?
- なんか慣性モーメントの意味自体がわかってないのではないかと不安になりますが…。そもそも「考えない」と「０になる」は全く別の話なので、「０になるから考えない」ってことでは全然ありません。「x,yのωが０になるから考えない」というのは、まるで「x,y方向には動かないからその方向の質量は０とする」というのと同じぐらい、おかしな考え方です。 -- 前野?
- 当然ですが、円盤の場合、$I_{xx},I_{yy},I_{zz}$は、全て０ではないです。慣性モーメントは形で決まるので、動くか動かないとは無関係に、あるものならあります。 -- 前野?
- お返事ありがとうございます！I_xxやI_yyも慣性モーメントでありながら、円盤の慣性モーメントがI_xx、I_yyではなくI_zzなのはどうしてでしょうか。煩わしくてごめんなさい。 -- はじめ?
- 完全に勘違いしておられるようです。$I_{xx},I_{yy},I_{zz}$は、全部「円盤の慣性モーメント」です。「よくわかる初等力学」、あるいは他の本のどこかに「$I_{xx},I_{yy}$は円盤の慣性モーメントではなく、円盤の慣性モーメントなのは$I_{zz}$だけである」というふうなことが書いてありましたか？？ -- 前野?
- 慣性モーメントは「どの軸で回すか」によって違うので、$I_{xx},I_{yy},I_{zz}$は全部立派な「円盤の慣性モーメント」です。「$I_{xx},I_{yy}$は円盤の慣性モーメントではない」と書いてある本なんてないと思いますが。 -- 前野?
- 書いていて思ったのですが「円盤の（ｚ軸回りに回す場合の）慣性モーメントは${1\over2}MR^2$」の（ｚ軸回りに）の部分を読み落としてたか、読んだ本では（軸回りに）が暗黙の了解になっていた、とかそういうことでではないですか。 -- 前野?
- とにかく、何か勘違いをしておられるようなので、慣性モーメントの定義からもう一度本を熟読し直した方がよいと思います。 -- 前野?
- お返事ありがとうございます！軸周りの、という言葉を読み落としていたようです。回転物体について理解が甘いので熟読します。 -- はじめ?
角運動量と角速度の関係 †
はじめ? (2016-09-13 (火) 15:26:37)
p234の(8.13)では角運動量と角速度は平行となったのにp241以降では平行とならないのはなぜですか？
- (8.13)は質点の式で、241ｐのあたりからは質点でなく剛体の話をしている、というのが違いですが「なぜ」というのいうのは何が知りたいのでしょう？？ -- 前野?
- たとえば質点の運動ですが２３５ページの右側の図のような$\dot \phi\neq0$でθが一定の運動をしている場合を考えると、角速度はｚ軸周りに見えますが、角運動量の方向は違います。むしろ角速度と角運動量が同じになるのは「素直な回転」をしているときだけ、とも言えます。 -- 前野?
- レスがおくれてごめんなさい。そもそもの理解ができていないので、もう少し質問をさせていただきます。角速度というのは軸のことでしょうか？ -- はじめ?
- ？？？ 角速度というのは「軸の周りに単位時間あたりに回転する角度」ですから、軸そのものとは別です。 -- 前野?
- 軸の向きも含めて表現する時は、(8.13)にもあるように、$\dot\theta\vec{\mathbf e}_\phi - \sin\theta\dot\phi\vec{\mathbf e}_\theta$とベクトルで表現します（ベクトルの向きが軸の向き、ベクトルの長さが単位時間あたりの回転角度）。 -- 前野?
- お返事ありがとうございます！ p235の下から三行目の「つまり」というのがわかりません。お教えください。 -- はじめ?
- 「つまり」がわからない、というのは「角速度ベクトルの向きが回転軸の方法である」という意味がわからないということでしょうか？たとえば$\dot\theta\neq0$で$\dot \phi=0$なら角速度ベクトルは$\vec{\mathbf e}_\phi$の方向を向きます。これが「軸の方向」だという意味ですが。 -- 前野?
- dΦ/dtが0のときはe_Φベクトルが軸となるのがわかるのですが、dΦ/dt≠0、dθ/dt≠0という状況はどうでしょうか？そんな場合はありえないのでしょうか？ -- はじめ?
- もちろんありえますし、そのときはその状況に対応した軸があります。「ありえない」なんてことはありません。 -- 前野?
- お返事ありがとうございます！その時、θベクトル方向Φベクトル方向に運動している思うのですが、その軸もθベクトル、Φベクトルを使って表せるのですか？ -- はじめ?
- もちろん表現できますが、運動している方向と軸は別の向きですよ。 -- 前野?
- お返事ありがとうございます！軸は運動方向とは垂直だとおもうのですが、θベクトルとΦベクトルで張られるの平面上に軸があるのは違和感はありませんか？ -- はじめ?
- 平面上？？？いや平面上ってことはなく、いろんな方向向きますけど。$\vec{\mathbf e}_\theta,\vec{\mathbf e}_\phi$は質点のいる場所によっていろんな方向向くので、いろんな方向を向けます。 -- 前野?
- お返事ありがとうございます！運動のベクトルをはke_θベクトル＋le_Φベクトルとあらわすときも、軸がae_θベクトル+be_Φベクトルとなるのですよね。(k,l,a,b,は実数) 軸のベクトルと運動のベクトルは独立ではないのでしょうか？ -- はじめ?
- すいません、根本的なところでなにか誤解されているようです。「運動のベクトルをはke_θベクトル＋le_Φベクトルとあらわす」というときの「運動のベクトル」って何ですか？？（速度？） -- 前野?
- 「運動のベクトル」というのが速度のベクトル（あるいは「運動量のベクトル」の間違い？？）のつもりなら、一般には$j\vec{\mathbf e}_r$のような項も入ります。 -- 前野?
- 角運動量を計算するときは、$\vec x\times \vec p$のように外積を取るので、角運動量のベクトルには$\vec{\mathbf e}_r$が入らなくなります。 -- 前野?
- 「運動のベクトル」というのが「速度ベクトル」もしくは「運動量のベクトル」の意味だったとしたら、「角運動量のベクトル」と「運動量のベクトル」は必ず直交するので、独立ではありません（御質問の意味がいまいち曖昧で困っているのですが、疑問はそういう意味でしょうか？） -- 前野?
- お返事ありがとうございます。質問が曖昧でごめんなさい。運動のベクトルというのは速度のことでした。軸が運動と垂直になるのは納得いたしました。軸(角速度ベクトル)の大きさが単位時間あたりの回転角度になるのがよくわかりません。 -- はじめ?
- 角速度ベクトルの大きさが回転速度の大きさというのも納得いたしました。ありがとうございます。長くなってしまいましたので、当初の疑問は再び題をつけて投稿させていただきます。 -- はじめ?
- 当初の疑問についてなのですが、各質点について角運動量と角速度ベクトルが平行ならば剛体の角運動量と角速度ベクトルは平行なのではないか、というものでしたが、原点を変えてはいけないので、各質点ごとにも成り立たないことを自覚しておりませんでした。今となっては納得しております。お忙しいところ長く付き合ってくださり、毎度のことながら至極感謝しております！ -- はじめ?
- すいません、掲示板の調子が悪くて書き込みがうまくできてなくて申し訳ありません。とりあえず納得できたようでよかったです。 -- 前野?
エネルギーについて †
りょう? (2016-09-10 (土) 20:43:43)
連続で申し訳ありません。
運動量の変化＝力積の式について「時間積分した」というのはなんとなくですがわかるのですが、なぜ運動方程式を空間積分したのでしょう？
そうしないとエネルギーという概念が出てこないのは分かりますし、エネルギーという概念が便利なのは問題を解いていて非常によくわかるのですが…
宜しくお願い致します。
- それはもちろん、おっしゃる通り「エネルギーという概念が便利だから」です。もうひとつ前の段階だと「仕事」という概念が便利だから、ということになります。 -- 前野?
2つの物体の衝突について †
りょう? (2016-09-10 (土) 19:49:42)
2つの物体が正面衝突して、2つとも向きを変えて運動した（例えば、Aという物体は左から右に運動していたが左に運動し、Bは右から左に運動していたが衝突後、左から右に運動した）場合、それぞれの物体の運動量は変化するはずです。（少なくとも、向きが反対になってしまうので、衝突前と衝突後の速さが同じでも向きが異なるはずですから）
その場合、「運動量の変化＝力積」が適用できるのですか？
「衝突による力」は「外力」とみなしてよいのでしょうか？
長くなってしまいましたが、宜しくお願い致します。
- というか「運動量の変化＝力積」が適用できない場合というのはないです。衝突による力であろうがなんだろうが、外からかかる力は「外力」と考えていいです。 -- 前野?
- お返事ありがとうございます。理解できました。 -- りょう?
作用反作用について †
はじめ? (2016-09-01 (木) 03:26:39)
作用があれば反作用があるとのことを拝読したのですが、作用反作用によって力学的波動の説明はできるのでしょうか？
考えたことを画像にしましたので添えさせていただきます。それぞれ最初のhを抜いてあります。ttp://www.fastpic.jp/images.php?file=6697958351.jpg
ttp://www.fastpic.jp/images.php?file=1654733315.jpg
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