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自然科学のための数学2014年度第８講

　今日は三角関数の微分の続き。

ここまででわかったことは、 ${\theta}$ が小さい（0に近い）時は、

$\sin\theta$ の近似式

$\begin{equation} \sin {\theta}\fallingdotseq {\theta}~~~~~より正確には、 \sin {\theta}={\theta}+{\cal O}({\theta}^3) \end{equation}$

が使えることである。残りの部分が ${\cal O}({\theta}^2)$ ではなく ${\cal O}({\theta}^3)$ なのは、 $\sin$ が奇関数であること（つまり、 $\sin (-{\theta})=-\sin {\theta}$ であること）を知っているので、 ${\cal O}({\theta}^2)$ はないからである。

では、 $\cos{\theta}$ の ${\theta}$ が小さいときの極限はどうなるだろう。 $\cos0=1$ であり、かつ $\cos$ は偶関数（ $\cos (-{\theta})=\cos {\theta}$ ）だから、 $\cos {\theta}=1+{\cal O}({\theta}^2)$ であることがまずわかる。そこで、 $\begin{equation} \cos {\theta}=1+a{\theta}^2+{\cal O}({\theta}^4) \end{equation}$ （残りの式が ${\cal O}({\theta}^3)$ ではなく ${\cal O}({\theta}^4)$ なのも、 $\cos$ が偶関数だから）として定数 $a$ を求めてみる。 $\sin ^2{\theta}+\cos ^2{\theta}=1$ に代入すると、 $\begin{equation} \begin{array}{rl} \bigl( \underbrace{{\theta}+{\cal O}({{\theta}^3})}_{\sin {\theta}} \bigr)^2 +\bigl( \underbrace{1+a{\theta}^2+{\cal O}({{\theta}^4})}_{\cos {\theta}} \bigr)^2 =&1\\[5mm] {\theta}^2 + {\cal O}({\theta}^4)+1+2a{\theta}^2 + {\cal O}({\theta}^4)=&1 \end{array} \end{equation}$

となるが、右辺は1だから $a=-{1\over 2}$ になって左辺の ${\theta}^2$ の係数が消えなくてはならず、

$\cos\theta$ の近似式

$\begin{equation} \cos {\theta}\fallingdotseq 1-{1\over 2}{\theta}^2~~~~~より正確には、 \cos {\theta}=1-{1\over 2}{\theta}^2+{\cal O}({\theta}^4) \end{equation}$

がわかる。同様に、

tanθの近似式

$\begin{equation} \tan {\theta}\fallingdotseq {\theta}~~~~~より正確には、 \tan {\theta}={\theta}+{\cal O}({\theta}^3) \end{equation}$

もわかる（ $\sin$ の時の ${\cal O}({\theta}^3)$ は負だが、 $\tan$ の時の ${\cal O}({\theta}^3)$ は正である）。

これらは今後もよく使う関係式である「覚えよう」とは言わない。何度も使うから覚えてしまうはずだ。これを「何度も使わない」としたら、勉強が足りない。。これを使って、三角関数の導関数を考えよう。

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tanθの近似式

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