相対論2009年度第10回

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第６章　ミンコフスキー空間
学生の感想・コメントから

第６章　ミンコフスキー空間†

ここまで学習した相対論的な考え方は「ミンコフスキー空間」と呼ばれる「時間１次元＋空間３次元の時空間」での幾何学としてまとめなおすことができる。この章でここまでの結果を``４次元的な視点''から考え直そう。

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6.1 ４次元の内積†

ここまででわかった大事なことはローレンツ変換によって移り変わる二つの座標系(ct,x,y,z)と(ct',x',y',z')の間に、

$-(ct)^2 + x^2 + y^2 +z^2= -(ct')^2 + (x')^2 + (y')^2 +(z')^2$

あるいは

$\eta_{\mu\nu}x^\mu x^\nu=\eta_{\mu\nu}x^{\prime\mu} x^{\prime\nu}$

という関係が成立することである。

もともとローレンツ変換を求める時においた要請1.は $-(ct)^2 + x^2 +y^2+z^2$ の値の不変性ではなく、「 $-(ct)^2 + x^2 + y^2 +z^2 =0$ ならば、 $-(ct')^2+(x')^2+(y')^2+(z')^2=0$ であれ」という条件であった。しかし、これに要請2.(一様性)と要請3.(等方性)を加えることで、 $-(ct)^2 + x^2 + y^2 +z^2$ が不変でなくてはならないことがわかった。

この量 $-(ct)^2 + x^2 + y^2 +z^2$ あるいは $\eta_{\mu\nu}x^\mu x^\nu$ を、「４次元的距離の自乗」と呼ぶ。この式のうち時間成分を除いた $x^2+y^2+z^2$ は３次元空間における距離の自乗である。３次元において、距離の自乗は回転（および反転）という座標変換に対して不変であった。その４次元バージョンである $-(ct)^2 + x^2 + y^2 +z^2$ は回転・反転だけでなく、ローレンツ変換に対して不変となっている。物理において大事なのは「座標変換によって変わらない量」である（座標は所詮、人間の都合で決めたものであるから、座標によらない量こそが本質なのである）。そういう意味で、４次元的に考える時（つまり相対論的に考える時）には３次元の距離よりも４次元的な距離の方がずっと物理的意味が大きい。

４次元的な距離の自乗を不変にする変換を（３次元的な回転や反転もひっくるめて）「ローレンツ変換」と呼ぶ場合もある。ローレンツ変換をテンソルを使って表現すると $(x')^\mu=\alpha^\mu_{~\nu}x^\nu$ であるが、この変換の行列 $\alpha^\mu_{~\nu}$ は $\eta_{\mu\nu}= \eta_{\mu'\nu'}\alpha^{\mu'}_{~\mu}\alpha^{\nu'}_{~\nu}$ を満たす。このような行列 $\alpha^\mu_{~\nu}$ で表される変換は、すべて広い意味でのローレンツ変換である。

狭い意味のローレンツ変換は「boost」と呼ばれることもある。

次の図は、(x,y)面において $x^2+y^2=$ 一定となる線と、(x,ct)面において $-(ct)^2+x^2=$ 一定となる線を書いたものである。右の図は「等距離の点」には見えないが、４次元的な意味で「等距離の点」なのである。

ローレンツ変換によって保存される量は３次元的な意味での長さであるところの $\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ ではなく、４次元的な意味での長さである。ある点(t,x,y,z)と、それから（時間的にも空間的にも）微小距離だけ離れた点(t+dt,x+dx,y+dy,z+dz)との間の距離をdsとした時、

$ds^2 =-c^2dt^2+dx^2+dy^2+dz^2$

として、４次元的な微小長さ（「線素」と呼ぶ）を定義する。

$ds^2$ はいろんな符号がありえる。符号によって

$ds^2>0$	$(cdt)^2 < {dx^2+dy^2+dz^2}$	空間的(space-like)
$ds^2=0$	$(cdt)^2 = {dx^2+dy^2+dz^2}$	ヌル的(null-like)
$ds^2<0$	$(cdt)^2 > {dx^2+dy^2+dz^2}$	時間的(time-like)

のように４次元距離を分類する。「ヌル的」は「光的(light-like)」と言う場合もある。

余談ながら。芸術にはtimelikeなものとspacelikeなものがあるという話がある。音楽は時間的な広がりがあるのでtimelike。絵画などはある瞬間の広がりなのでspacelike。

本によって、上の式を $ds^2 = c^2 dt^2 -dx^2 -dy^2 -dz^2$ と定義する場合(timelike convention)と、 $ds^2 = -c^2dt^2+ dx^2+dy^2+dz^2$ と定義する場合(spacelike convention) がある。前者は、通常の粒子の場合 $ds^2>0$ となる点が好ましい。後者は、３次元部分だけを見るとユークリッド空間での線素の長さ $ds^2=dx^2+dy^2+dz^2$ と等しい点が好ましい。どちらを使うかはその人の流儀であって、どちらを使っても物理的内容に違いはない。ここではspacelike conventionの方を使う。

このようにして距離が定義された空間をミンコフスキー(Minkowski)空間といい、この空間での距離の計算の仕方を示す $\eta_{\mu\nu}$ という記号およびこの記号を使って測られる距離のことを「ミンコフスキー計量」と言う。

ちなみに、普通の空間、すなわち距離が

$ds^2 = dx^2 +dy^2 + dz^2$

で定義された空間は「ユークリッド空間」（正確には「３次元ユークリッド空間」）と呼び、行列 $\delta_{ij}=\left(\begin{array}{ccc} 1&0 &0 \\ 0&1 &0 \\ 0&0 &1 \end{array}\right)$ はユークリッド計量と呼ぶ。

４次元的な考え方と言っても内容は変わっていない。アインシュタイン自身もミンコフスキーがこういう書き方を始めた時、「数学的な話で、物理の理解とは関係ない」と思っていたらしい*1。しかし、このような表示によって相対論を考えることが劇的に簡単になる（アインシュタインもすぐにそれに気づいて自分でも使い始めている）。

この「４次元的距離」という考え方をすると、ローレンツ短縮やウラシマ効果を別な形で理解することができる。ローレンツ短縮は、「動いている棒は長さが縮む」という現象である。右の図は、棒が静止している座標系で、棒の先端と後端の軌跡を示した。図の水平矢印は、棒と同じ動きをしている人が観測する「棒の長さ」である。

次に、棒に対して動いている人を考える。同時の相対性により、この観測者の同時刻は傾いている。この人が棒の長さを測る時には、自分にとっての同時刻を基準に測るであろうから、「棒の長さ」は図の斜め矢印であると認識する。

水平矢印と斜め矢印は、グラフ上の見た目では斜めの方が長く見えるが、４次元的長さの自乗の定義が $x^2+y^2+z^2-(ct)^2$ であることを思い出すと、水平矢印の長さXに対し、斜め矢印は長さが $\sqrt{X^2-(ct)^2}$ となる(普通のピタゴラスの定理とは $(ct)^2$ の前の符号が変わっていることに注意)。

ウラシマ効果は、動いている方が経過する時間が短いという効果であるが、それは図の斜め線の方が垂直な線より短いということで理解できる。

グラフを見ると斜め線の方が長く見えるが、今長さの定義が４次元的距離で定義されていることに気をつけなくてはいけない。そのため、真っ直ぐな線の４次元的距離の自乗は $-(cT)^2$ であり、斜め線の４次元的距離の自乗は $-(cT)^2+X^2$ となる。「距離の自乗」がマイナスになるのは「自乗」という言葉の本来の意味からすると奇妙であるが、今「距離の自乗」は $-(cT)^2+x^2+y^2+z^2$ と定義されているのでこれでよい。本来の意味とは違う使い方をしていることになるが、物理専用の用語なのだと思って納得して欲しい。

マイナスになるのが気になるのであれば、「時間的な距離を測る時には距離の自乗は $(cT)^2-x^2-y^2-z^2$ と定義する」と決めておいてもよい。

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6.2 世界線の長さと固有時†

粒子の軌跡（４次元時空中の曲線になる）を「世界線」と呼ぶ。世界線の長さを上で定義したdsを使って測定する。dsはローレンツ変換によって不変な量である。適当なローレンツ変換をしても値は変らないのだから、計算しやすい座標系で計算すればよいことになる。そこで今考えている粒子がちょうど静止しているような座標系を採用したとする。その座標系を(T,X,Y,Z)とすると、明らかに粒子の運動した線に沿っていけばdX=dY=dZ=0 であるから、

$ds^2 = -c^2 dT^2$

となる。つまり、dsはその物体が静止している座標系で測った時間経過に比例する。比例定数はicである（iがついてしまうのは、 $ds^2$ をspacelike conventionで定義したためである）。 $ds^2=-c^2d\tau^2$ と書くと、このτがまさに、その物体が静止している座標系で測った時間である。つまり、この物体が持っている時計の刻む時間であると考えて良い。そこでτを固有時と呼ぶ。

$d\tau^2 = dt^2 - {1\over c^2}(dx^2+dy^2+dz^2)$

となる*2。固有時τに対し、座標系に対して静止している人にとっての時間tは「座標時」と呼ばれる。この式の両辺を $dt^2$ で割って平方根を取ると、

${d\tau\over dt}=\sqrt{1-{{1\over c^2}}\left(\left({dx\over dt}\right)^2+\left({dy\over dt}\right)^2+\left({dz\over dt}\right)^2\right)}=\sqrt{1-\beta^2}$

となる。つまり、固有時の増加は座標時の増加の $\sqrt{1-\beta^2}$ 倍である。

固有時は、各物体ごとに違う進み方をする。上の式からわかるように、寄り道をすると $dx^2$ が多くなり、結果として固有時の進みは遅れる（ウラシマ効果）。双子のパラドックスの計算なども、運動している物体の固有時が短くなる、と考えれば簡単である。

我々の知っている粒子の世界線はtime-likeであるかnull-likeであるか、どちらかである。世界線がspace-likeだということは超光速で運動している粒子であるということで、そんなものは見つかっていない。もし見つかったら、そのような粒子は見る人の立場によっては未来から過去に向かって走ることになるので、因果律に抵触することになるだろう。

世界線がnull-likeになると、固有時の変化 $d\tau$ は0になってしまう。よって光のように光速で動くものに対しては固有時が定義できない（あるいは定義してもそれは変化しない）。

[問い6-1] 半径R、角速度ωで等速円運動している物体がある。座標時では１周に ${2\pi\over \omega}$ だけ時間がかかるが、固有時ではどれだけの時間になるか？

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6.3 ４元ベクトルの前に：３次元ベクトルの回転の復習†

次の節で４次元時空内でのベクトルを考える。ローレンツ変換は４次元時空間での「回転のようなもの」と解釈できるので、４次元に行く前に３次元空間における回転を復習しておく。

３次元の座標 $x^i(i=1,2,3)$ を回転させる座標変換は、

$\left(\begin{array}{c} x^{\prime1}\\x^{\prime2}\\x^{\prime3} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} A^1_{~1}&A^1_{~2} &A^1_{~3} \\ A^2_{~1}&A^2_{~2} &A^2_{~3} \\ A^3_{~1}&A^3_{~2} &A^3_{~3} \\ \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} x^{1}\\x^{2}\\x^{3} \end{array}\right)$

のように行列で書ける。

これをテンソルで書けば $x^{\prime i}= A^{i}_{~j}x^j$ )となる。Aには具体的には例えば $\left(\begin{array}{ccc}\cos\theta&\sin\theta &0 \\ -\sin\theta&\cos\theta &0 \\ 0&0 &1 \end{array}\right)$ のような行列が入る。

このように座標系が回転した時、３次元空間のベクトル $V^i(i=1,2,3)$ は、

$\left(\begin{array}{c} V^{\prime1}\\V^{\prime2}\\V^{\prime3} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} A^1_{~1}&A^1_{~2} &A^1_{~3} \\ A^2_{~1}&A^2_{~2} &A^2_{~3} \\ A^3_{~1}&A^3_{~2} &A^3_{~3} \\ \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} V^{1}\\V^{2}\\V^{3} \end{array}\right)$

(テンソルで書けば $V^{\prime i}= A^{i}_{~j} V^j$ ) のように、同じ行列を使って回転される。そして、二つのベクトル $V^i,W^i$ があった時、その内積 $\begin{array}{c} (V^1 V^2 V^3) \\ \\ \\\end{array}\left(\begin{array}{c} W^1 \\ W^2\\ W^3\end{array}\right)=V^iW^i=V^1W^1+V^2W^2+V^3W^3$ は保存する。そのことは、行列 $A^i_{~j}$ の性質

$\left(\begin{array}{ccc} A^1_{~1}&A^2_{~1} &A^3_{~1} \\ A^1_{~2}&A^2_{~2} &A^3_{~2} \\ A^1_{~3}&A^2_{~3} &A^3_{~3} \\ \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} A^1_{~1}&A^1_{~2} &A^1_{~3} \\ A^2_{~1}&A^2_{~2} &A^2_{~3} \\ A^3_{~1}&A^3_{~2} &A^3_{~3} \\ \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} 1&0 &0 \\ 0&1 &0 \\ 0&0 &1 \\ \end{array}\right)$

(Aijの性質)

からわかる。この式をテンソルで書けば $A^i_{~j}A^i_{~k}=\delta_{jk}$ である。この式の左辺の掛け算は、 $A^i_{~j}$ の前の足どうしが同じ添字で足し上げられていることに注意。つまり行列の掛け算ルールに即するためには前の方を転置せねばならない（上の行列での表現もそうなっている）。

また、回転の行列ならばこのような性質を持っていることは、ベクトル $\left(\begin{array}{c} 1\\0\\0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 0\\1\\0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 0\\0\\1 \end{array}\right)$ をこの行列で回転させると $\left(\begin{array}{c} A^1_{~1}\\A^2_{~1} \\A^3_{~1} \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} A^1_{~2}\\A^2_{~2} \\A^3_{~2} \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} A^1_{~3}\\A^2_{~3} \\A^3_{~3} \end{array}\right)$ となることからわかる。

$\vec v_i=\left(\begin{array}{c} A^1_{~i}\\A^2_{~i} \\A^3_{~i} \end{array}\right)$ と置いてみると、 $\vec v_i\cdot\vec v_j=\delta_{ij}$ である。これはすなわち、(Aijの性質)が成立するということなのである。

$\vec v_i\cdot\vec v_j=\delta_{ij}$ が成立することは内積 $\vec a\cdot\vec b$ が回転という座標変換で不変であることと、 $\vec v_i$ が座標変換を行う前は $\left(\begin{array}{c} 1\\0\\0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 0\\1\\0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 0\\0\\1 \end{array}\right)$ であったことを考えれば当然である。

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学生の感想・コメントから†

世界線をグラフで書いたときに静止と動いている物体とどっちが短いかというのがグラフだけで納得できるようになりました。

ミンコフスキー的考え方ができてますね

光は光速以上の速度で進めないんですか？　超光速は光速より速い？

光は常に光速で進みます。光速でしか進めません。超光速は光速を越えているということですが、今のところ実現した例はありません。

美術は空間的と言ってましたが、超光速？

絵画を考えると、空間的な広がりを持って存在している、という意味で空間的です。超光速で移動しているわけではありません。

行列で忘れていることが多い（多数）

こういうところで使うために線形代数や物理数学で勉強したものなので、ぜひちゃんと身につけましょう。

光速の99％の宇宙船は９光年先の星に1.26年で行けると聞いたのですが、では今見ている星空も、距離は９光年先でも見えているのは1.26年前の光なんですか？

計算してみると1.2696…なので、1.27年というべきでしょう。1.27年になるのは宇宙船の内部での時間で、地球やその星の時間は光が旅してくる間に、やっぱり9年経ってます。だから、見ているのは９年前の光です。

３次元の回転行列で、変換した後もその座標軸が直交するのはわかりました。静止座標系から動く座標系への変換で行列は使えるのですか？

はい。使えます。それを来週やります。行列の形はちょっと変わりますが。

光は質量がないということでしたが、光が重力を受けないとすると、地上で発射された光は宇宙へ飛んでいきますよね。でも実際は地上から地上へ光は届きます。やはり光はやはり重力を受けるのでしょうか？

質量がないということと「重力の影響を受けない」ということは違います。光も重力の影響受けて曲がりますよ。ただし、その曲がりはとても小さいので、ほぼ、「曲がらない」と思っていいです。地上の場合、水平より大きい角度で出た光は全部外へ出ます（途中で何かに反射されたり吸収されたりしない場合）。地上の光が全部地上に届くわけじゃないですよ。つまり、あなたの言うことの「でも実際は」の後の部分が間違いです。

ロケットで宇宙に行って、しばらく止まって地球に戻ってくると、地球が自転している分のロケットの中より時間が遅くなりますか？

そりゃ、ロケットが止まって地球が回る時間が充分長ければ。ロケットがどれくらいの速度で飛んだかによっても違いますから、どうなるかは状況次第ですが、もしロケットが光速の何１０％以上で飛んだのなら、時間の遅れが逆転するには、何億年もいります。

相対論2009年度第10回

第６章　ミンコフスキー空間†

6.1 ４次元の内積†

6.2 世界線の長さと固有時†

6.3 ４元ベクトルの前に：３次元ベクトルの回転の復習†

学生の感想・コメントから†

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