電磁気学II2007年度第14回

7.1.2 変位電流は磁場を作るか？

7.2 電磁波
- 7.2.1 電磁波の方程式
7.3 章末演習問題

学生の感想・コメントから

7.1.2 変位電流は磁場を作るか？†

変位電流はアンペールの法則がどのような状況でも満足されるように、という要求から導入される（と考えてもよい）ことをすでに述べた。ここで、磁場を求める方法としてはもう一つ、「ビオ・サバールの法則」があったことを思い出そう。こちらの方はどうだろう？---ビオサバールの法則にも電流が現れているが、これはやはり「電流＋変位電流」に置き換えておくべきなのであろうか？？

ここで一つ注意しておかなくてはいけないことは、ビオ・サバールの法則は本来「定常電流による定常磁場」を求めるための法則だということである。だから、電流が時間的に変化している場合に適用してはいけない*1。したがって、変位電流が時間変化している場合にビオ・サバールを使ってはいけないことは当然である。

電束密度 $\vec D$ は変化してもよい。しかし、その時間微分であるところの ${\partial \vec D\over \partial t}$ は変化してはいけない（平たく言えば、${\partial^2 \vec D\over \partial t^2}=0$ということだ）。以下ではそのような場合だけを扱うことにする。

結論を言うと、ビオ・サバールの法則の中に変位電流の項を付け加える必要はない。一つの実例でそれを示そう。

$z=-\infty$ からz=0まで、z軸上を正の方向に電流Iが流れていくとする。原点で電流が止まる。ということは、原点にある電荷が単位時間あたりにIずつ増えていくということである。t=0で電荷がたまっていなかったとして、原点にQ=Itの電荷があると考えよう。それによって作られる電束密度は、

$\vec D= {It\over 4\pi r^2}\vec e_r$

である。

ここで、厳密には時刻tにおいて電荷がItだからと言って、距離r離れた場所に作られる電場は上の式の通りではないことを注意しておこう。というのは、電荷の変化に応じて電束密度が変化するにも時間がかかると考えられるからである*2。ここではその影響を無視して考える。よって、変位電流 $${\partial\over \partial t} \vec D= {I\over 4\pi r^2}\vec e_r$$ が空間に分布していると考える。もし、ビオ・サバールの法則に変位電流を入れるとすると、 $$ \vec B(\vec x)={\mu_0\over 4\pi}\int d^3\vec x' {(\vec x-\vec x')\times (\vec j(\vec x')+{\partial\over \partial t}\vec D(\vec x'))\over |\vec x-\vec x'|^3}$$ という形になるだろう。しかし、この変位電流の項は常に0になるのである。図の点Pに変位電流が磁場を作ると考えてみよう。電荷からPまで延ばした線（図の点線）に関して対称な点AとBを考える。この２カ所にある変位電流の大きさは対称性から等しく向きが違う。外積をとることで $(\vec x-\vec x')\times{\partial\over \partial t}\vec D(\vec x')$ がちょうど逆符号となる。つまり点Aの変位電流による磁場と点Bの変位電流による磁場は消し合ってしまう。他の全ての点において同じことが言える*3ので、全空間で $\vec x'$ 積分を行うと、変位電流の項はきれいさっぱりなくなってしまう。

以上はビオ・サバールの法則を使った計算であり、この計算には変位電流の出番はなかった。ビオ・サバールの法則に従って考えるかぎり、変位電流は磁場を作らないということになる。　

では、アンペールの法則で考えるとどうなるか。たとえばz軸から角度θ離れて、距離rの方向での磁場を考えよう。電流の作る磁場は（対称性ももちろん考慮に入れて）z軸を右ネジの向きにまわるようにできる。この磁場の強さを $H(r,\theta)$ とすると、アンペールの法則を使えば、 $$H(r,\theta)\times 2\pi r\sin\theta = \int_{ループ内} d\vec S \cdot {\partial \vec D\over \partial t}$$ という計算になる（今考えているループ内には真電流はない）。この積分の結果はIよりは少なくなる（z=0を完全に覆うように積分すれば、ちょうどIに等しい）。無限に長い導線の場合と比較して、アンペールの法則を使う場合は「電束の一部しかループを通らない」という理由で磁場が弱くなり、ビオ・サバールの法則を使う場合は「電流が途中で終わっている」という理由で磁場が弱くなる。

詳しい計算は章末演習問題とするが、こうやって計算した磁場の値と、z=0より下にある電流のみを考えてビオ・サバールの法則を使って計算した磁場の値は、ちゃんと一致する。アンペールの法則においては変位電流がちゃんと寄与する。

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7.2 電磁波†

マックスウェル方程式で表される物理現象を組み合わせていくと、以下のようなしくみで電磁波が発生することがわかる。

(1)ある場所に振動する電流または電束密度が発生する（たとえば電波のアンテナなら周期的に変動する電流を流している）。

(2)「電流」もしくは「電束密度の時間変化」は、周囲に渦をまくような磁場を伴う( ${\rm rot} \vec H=\vec j+{\partial \over \partial t}\vec D$ )。

(3)周囲の空間の磁場の時間変動には、さらにその周囲に渦をまくような電場を伴う( ${\rm rot}\vec E=-{\partial \over \partial t}\vec B$ )。

以上がくりかえされることにより、空間の中を電場と磁場の振動が広がっていく。振動現象が出現するためには、その系に復元力と慣性が必要である。電場と磁場にもこの二つがある。レンツの法則に代表されるように、外部から加えられた変化を妨げ、平衡状態に戻そうとする作用が電磁気の法則には含まれている。これはいわば「慣性」である。

電磁場の復元力もちゃんと電磁気の法則に含まれている。もし、空間に一部に強い電場、周りに弱い電場があるような状態があったとしよう（右図の左側）この空間では ${\rm rot} \vec E$ が0ではないから、必然的に${\rm rot} \vec E=-{\partial\vec B\over \partial t}$にしたがって磁場が発生する。発生する磁場は ${\rm rot} E$ と逆を向くから、図にあるように、強い電場の周りに渦を巻くような磁場ができる。すると今度は ${\rm rot} \vec H={\partial\vec D\over \partial t}$ にしたがって*4電場が発生するが、この電場は元々あった電場を弱める方向を向いている。

つまり、マックスウェル方程式の中には、一部分だけ電場が強い領域があったら、そこの電場を弱めようとするような性質が隠れている。マックスウェル方程式は空間的変動（ ${\rm rot} \vec E$ など）と時間的変動（ $-{\partial\vec B\over \partial t}$ など）を結びつける式になっており、しかもその組み合わせによって空間的な変動を解消しようとする方向へ物理現象が進む（言わば「復元力が発生する」のである）。

電場と磁場が波となる可能性に気づいたのはファラデーであり、1846年にそのことを発表し「この波こそ光ではないのか」と述べている。しかし、その波が実際にどのような速度でどのように伝わるかを計算することはできなかった。マックスウェルは彼の方程式を使ってこの問題を解いたのである。

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7.2.1 電磁波の方程式†

電磁波の方程式を出す。目標は、真空中のマックスウェル方程式から、電場 $\vec E$ のみまたは磁束密度 $\vec B$ のみの式を作ることである。真空中で電荷・電流がない場合のマックスウェル方程式を書こう。 $$ {\rm div} \vec E=0,~~~ {\rm div} \vec B=0,~~~{1\over\mu_0} {\rm rot} \vec B = \varepsilon_0 {\partial\over \partial t}\vec E,~~~{\rm rot} \vec E = -{\partial\over \partial t}\vec B$$ 真空中であるから、$\vec B=\mu_0\vec H$と$\vec D=\varepsilon_0\vec E$を使って $\vec D$ と$\vec H$は消去済みである。

ここで、 $\vec E$ のみ、もしくは$\vec B$のみの式を作ろう。${\rm rot}\vec B=-\varepsilon_0\mu_0{\partial\over \partial t}\vec E$という式が代入できるように、まず ${\rm rot}\vec E=-{\partial \over \partial t}\vec B$ の両辺のrotを取る。 $$\begin{array}{rl}{\rm rot}\left({\rm rot}\vec E\right)&=-{\partial \over \partial t}\underbrace{\left({\rm rot} \vec B\right)}_{=\varepsilon_0\mu_0{\partial\over \partial t}\vec E}\\{\rm grad}\underbrace{\left({\rm div}\vec E\right)}_{=0}-\triangle \vec E&=-\varepsilon_0\mu_0{\partial^2 \over \partial t^2}\vec E\\-\triangle \vec E&=-\varepsilon_0\mu_0{\partial^2 \over \partial t^2}\vec E\\\end{array}$$ という式が出る（ ${\rm rot} ({\rm rot} \vec A)={\rm grad}({\rm div}\vec A)-\triangle\vec A$ という公式を使った）。

この式は$ \left( \varepsilon_0\mu_0{\partial^2\over \partial t^2}-\triangle \right)\vec E=0$と書き直すことができ、これは３次元の波動方程式$\left({1\over v^2}{\partial^2\over \partial t^2}-\triangle\right)u=0 $で $v={1\over \sqrt{\varepsilon_0\mu_0}}$ と置いたものに等しい。つまり、電場は速さ ${1\over \sqrt{\varepsilon_0\mu_0}}$ の波となって真空中を伝わる。磁束密度の方についても、

$\begin{array}{rl}{\rm rot}\left({\rm rot}\vec B\right)&=-\varepsilon_0\mu_0{\partial \over \partial t}\underbrace{\left({\rm rot} \vec E\right)}_{=-{\partial\over \partial t}\vec B}\\{\rm grad}\underbrace{\left({\rm div}\vec B\right)}_{=0}-\triangle \vec E&=-\varepsilon_0\mu_0{\partial^2 \over \partial t^2}\vec B\\-\triangle \vec B&=-\varepsilon_0\mu_0{\partial^2 \over \partial t^2}\vec B\\\end{array}$

となって、同じ速さで伝播する波となる。

この速さを計算してみると、

${1\over \sqrt{8.854187817\cdots\times10^{-12}\times {4\pi}\times10^{-7}}}= 2.99792458\times 10^8$ m/s

である。これは光速度である。つまり、マックスウェルは「電場と磁場が波になるだろうか？」と計算してみた結果、光が電場と磁場の波であることを見つけてしまったのである。

４月に、クーロンの法則の比例定数の『kの値は、実は「光速度（299792458m/s）の自乗 $\times 10^{-7}$ 」と表現できる。 $10^{-7}$ が入るのは単位の定義の問題であり、光速度の自乗が入るのは光も電磁気現象の一つであるからである。これについてはずっと後で明らかになる。』ということを書きました。第２回の脚注６です。ここでやっとその種明かしができました。

なお、ここではあくまで「波」としての電磁波を求めたが、波動になっていないような電磁場であっても、その変化が伝わるのは光速であること、つまり有限の速度でしか電磁場の変化は伝わらないことに注意しよう。

ここで、いわゆる平面波解を求めてみよう。簡単のため、z方向に進行する波を考える。光速度をcとして、求めるべき電場と磁場はみなz-ctの任意の関数f(z-ct)になっているとする。

$\begin{array}{rl} \left({1\over c^2}{\partial^2\over \partial t^2}-\triangle\right)f(z-ct)=& \left({1\over c^2}{\partial^2\over \partial t^2}-{\partial^2\over \partial z^2}\right)f(z-ct)\\=& {1\over c^2}\times c^2 f''(z-ct) - f''(z-ct) =0\end{array}$

となって、これは解である。よって、まず $\vec E(z-ct),\vec B(z-ct)$ という形の解であることがわかる。マックスウェル方程式にこの形を代入してみる。${\rm div}\vec E=0$から ${\rm div}\vec E(z-ct)={\partial\over \partial z}E_z(z-ct)=E'_z(z-ct)=0$ であるから、この場合、電場のz成分は定数でなくてはいけない。同様に、磁束密度のz成分も定数である（この定数はいわば外部から一様な電場・磁場がかかっていることを意味する）。よって、「電磁波」として振動する部分はx,y方向しかない。電磁波を構成する電場と磁場は進行方向に垂直な方向を向く（つまり、光が横波だということ）。

簡単のため、電場はみなx方向を向いているとしよう（ $E_y=0$ ）。 ${\rm rot} \vec E=-{\partial\over \partial t}\vec B$ に代入してみると、

x成分 ${\partial\over \partial y}E_z-{\partial \over \partial z}E_y=-{\partial\over \partial t}B_x$

$0=-{\partial\over \partial t}B_x$

y成分 ${\partial\over \partial z}E_x-{\partial \over \partial x}E_z=-{\partial\over \partial t}B_y$

$E'_x(z-ct)=-{\partial\over \partial t}B_y $

z成分 ${\partial\over \partial x}E_y-{\partial \over \partial y}E_x=-{\partial\over \partial t}B_z$

$0=-{\partial\over \partial t}B_z$

となって、$B_x,B_z$は定数でなくてはいけない。ここでは電磁波に興味があるので、その定数を0としよう。 $B_y(z-ct)$ とすると、 $E'_x(z-ct)=cB_y(z-ct)$ となる。つまり、磁束密度は進行方向（z方向）とも、電場の方向（x方向）とも垂直な方向（y方向）を向き、大きさは電場の${1\over c}$である。まとめると、

$\vec E=(E_x(z-ct),0,0),~~~~\vec B=(0,{1\over c}E_x(z-ct),0)$

となる。この解は ${\rm rot}\vec B=\varepsilon_0\mu_0{\partial\over \partial t}\vec E$ も満たしている。

以上から、電磁波を構成する電場・磁場は進行方向と垂直で、かつ電場と磁場も互いに垂直であることがわかった。

この絵の動くアニメーションはここ。相対論の説明用に作った物なので、余計な情報が入っているが、そこは無視してください。

電磁波の進行の様子は上の図の通りである。各場所各場所でマックスウェル方程式が成立するように電磁場の時間変化が起こっていることに注目しよう。

磁場の中に電磁波が来ると、影響受けますか？

重ね合わせの原理ってのがありましたね。つまり電磁場と電磁場は互いに影響することなく、足し合わされます。

物質中の電磁波はどうなるんですか？

たとえば水中だと、水分子がこの電場の影響を受けて分極します。その分、電場が弱くなる。つまりは誘電率が変わるんだけど、その影響で光速は遅くなってしまいます。イメージとしては、電磁波がやってくると水分子も振動させるから、それに手間とられて遅くなる、って感じかな。

電磁波が来るところに方位磁石をおいたら振動しますか？

電磁波とか光とかって、振動数がめちゃくちゃでかいんですよ。だから、方位磁石みたいなものはなかなか振動しません。電子とか、軽いものなら振動してくれますが。

じゃあ、電磁波の来るところに電子がいたら、電子が振動して、また電磁波が出るんですか？

金属に電磁波があたった時なんかは、まさにそういうことが起きてます。金属があるとやってきた電磁波を打ち消す逆向き電磁波ができて、「電磁波が金属で反射された」という現象が起きるわけです。

なお、ファラデーが電磁波を予言したのは1846年（この時、光が電磁波である可能性も述べている）、マックスウェル方程式が完成したのは1865年、ヘルツが電磁波を発見するのはそれから23年たった1888年である。1901年にはマルコーニが無線通信に成功する。現代においても、ラジオ、テレビ、携帯電話と、電磁波は有効に活用されているが、着想から定式化、実験的発見、実用化までに半世紀以上がかかったことになる。

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7.3 章末演習問題†

[演習問題7-1]7.1.2節で考えた、 $z=-\infty$ からz=0までの直線電流の作る磁場を、ビオ・サバールの法則を使って求め、変位電流を取り入れたアンペールの法則を使って求めたものと比較せよ。

[演習問題7-2]図のように、原点にから放射状に四方八方に球対称に電流が流れ出しているという状況を考えよう（原点には巨大な正電荷の塊があり、そこからあらゆる方向に電荷が放出されていると考えればよい）。

全部でIの電流が流れているものとすれば、原点から距離rの場所の電流密度は ${I\over 4\pi r^2}$ である。この時赤道にあたる経路で積分してアンペールの法則を適用すると、電流のうち半分が北半球を抜けていくので、赤道を東向きに一周すると、 $2\pi r H= {I\over 2}$ という式が成立することになる。

↑クリックするとフルサイズで見ることができます。

ところが、全く同じことを南極側に抜ける電流に関して考えると、電流の向きが逆を向いているのだから、逆向きの磁場（西向き）ができていることになる。

どっちが正しいかというと、どっちも正しくない。正しい答はH=0である。今状況は球対称なのだから、東向きの磁場ができても、西向きの磁場ができてもおかしいことになるので、H=0は実にもっともな解である。しかしアンペールの法則を使うと0にはならない。ではなぜ実際には0になるのだろう？？---以上の話はどこを間違えているのだろう？？

[演習問題7-3]電磁波によって荷電粒子が跳ね飛ばされるという現象がある（量子力学的な現象になることもあるが、ここでは量子力学は考えないことにしよう）。A君は以下のように考えた。

「電子は電磁波によって跳ね飛ばされるらしい。電子はマイナスの電荷を持っている。ということはプラスの電荷を持っている粒子は、電磁波がくるとむしろ電磁波のやって来た方向に近づくのだろうか？」

疑問を持ったA君は電磁波が進行して正電荷や負電荷に当たるところの図を書いてみた。そしてさらに疑問を持った。

「電子が静止していると考えると、働く力は電場によるもののはず。だが電場は進行方向と垂直だ。ということは電子が跳ね飛ばされる方向は、進行方向と垂直なのだろうかか？」

実際には、正電荷であろうが負電荷であろうが、飛ばされる方向は電磁波の進行方向である。そのことを図解して示せ。

なお、このことは電磁波が進行方向向きの運動量を持っていることを示している。

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学生の感想・コメントから†

今日は理学部が行っている授業評価アンケートの余白部分に書いてもらった。アンケートの部分に時間を取られたのか、少し感想が少ない。また、この講義全体への感想が多い。

おもしろい講義でした。

ありがとうございます。私も楽しかった。

途中計算や、コンピュータで視覚的に捉えることがしっかりしていてよかった。

プログラムとかテキストとか作ったかいがありました。

${1\over\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}}$ に感動した。（同様の感想多数）

ちょっとびっくりしますよね。

アンテナはエネルギーを集めるこｔもできるのですか？

自分のところにやってきた電磁波のエネルギーを集めることは、もちろんできます。やってこない部分の電磁波を引き寄せることまではできません。

${\rm rot} ({\rm rot} \vec A)={\rm grad}({\rm div}\vec A)-\triangle\vec A$ という公式、すっかり忘れてました。

なかなか皆さん公式覚えてくれませんねぇ。。。。

マックスウェルの公式にも意味があったんですね。

物理の公式にはみんな意味がありますよ。

マックスウェル方程式、まだよくわからないのでテストに向けて勉強しよう。

うーん、まだですか。テスト来週ですけど。

電磁波の速度が光速度であることを見つけたマックスウェルはすごい（同様の感想多数）。

すごいですね。発見した時はすごく嬉しかっただろうな、と思います。

先生が４月に言った『電磁気をちゃんと勉強すると相対論が百回発見できます』の意味がわかった気がした。

今日、発見できましたか？？

１年間ありがとうございました。たいへんわかりやすく、電磁気以外の勉強にも良い影響を与えてもらえたと思います。物理の考え方が少しかもしれませんが、わかったと思った。テストを頑張りたいと思います。

この１年の授業が実りのあるものになってくれたら、私もうれしいです。テストがんばってね。