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授業の最初に「アンペールの法則って何だっけ？」とか「ビオ・サバールの法則ってどういうの？」と質問しながら復習してみたが、けっこう即答できない人がいた。基本的なことは、身体に染みつくまで覚えよう。
さて、こうして導いたビオ・サバールの法則によって計算される磁場は、アンペールの法則を満たしているだろうか。確認のため、ビオ・サバールの法則の両辺の${\rm rot}$を取る。 $$\begin{array}{rl} {\rm rot} \vec B=&\vec\nabla\times \int d^3 \vec x' {\mu_0 \vec j(\vec x')\times \vec x-\vec x'\over 4\pi|\vec x-\vec x'|^3}\\\end{array}$$ ベクトル解析の公式$\vec A\times (\vec B\times \vec C)=\vec B(\vec A\cdot\vec C)-\vec C(\vec A\cdot\vec B) $を使うと、 $$\underbrace{\vec\nabla}_{\vec A}\times\biggl(\underbrace{\vec j(\vec x')}_{\vec B}\times\underbrace{\left({\vec x-\vec x'\over |\vec x-\vec x'|^3}\right)}_{\vec C}\biggr)=\underbrace{\vec j(\vec x')}_{\vec B}\biggl(\underbrace{\vec\nabla}_{\vec A}\cdot\underbrace{\left({\vec x-\vec x'\over |\vec x-\vec x'|^3}\right)}_{\vec C}\biggr)-\biggl(\underbrace{\vec j(\vec x')}_{\vec B}\cdot\underbrace{\vec\nabla}_{\vec A}\biggr)\underbrace{\left({\vec x-\vec x'\over |\vec x-\vec x'|^3}\right)}_{\vec C}$$ と計算できる。ここで気をつけてやらないと失敗するポイントは、$\vec \nabla$は単なるベクトルではなく微分記号であり、「何を微分するのか」を忘れてはならないという点である。当然、$\vec\nabla$は$\vec j(\vec x')$は微分しない（$\vec x$の関数じゃないのだから）。微分されるのは${\left({\vec x-\vec x'\over |\vec x-\vec x'|^3}\right)}$の中の$\vec x$である。そのため、$\vec A$と$\vec C$の順番は変えてはいけないので、上の式では公式とは並び方を変えている。
一般的に、$\vec \nabla$を含むベクトルに対して公式を適用する時は、「この$\vec \nabla$は何を微分するのか」ということを明確に考えておかないと困る。今の場合$\vec B$が微分されなかったので計算が以上で済んだが、もし$\vec B$も$\vec C$も両方が微分されるのであれば、 $$ \vec\nabla\times(\vec B\times \vec C)=\vec B\left(\vec\nabla\cdot\vec C\right)+\left(\vec C\cdot\vec\nabla\right)\vec B-\left(\vec B\cdot\vec \nabla\right)\vec C-\vec C\left(\vec\nabla\cdot\vec B\right)$$ のように、それぞれの微分を考える必要がある。
以上に注意しつつこの公式を使うと、 $$\begin{array}{rl} {\rm rot} \vec B=&\int d^3 \vec x' \left(-\mu_0 \vec j(\vec x')\cdot\vec\nabla\left({(\vec x-\vec x')\over 4\pi|\vec x-\vec x'|^3}\right)+\mu_0 \vec j(\vec x')\vec\nabla\cdot\left({(\vec x-\vec x')\over 4\pi|\vec x-\vec x'|^3}\right)\right)\end{array}$$ である。ここで括弧内の第１項に対応する式が0になることを示そう。
$\vec \nabla$が微分している相手は${(\vec x-\vec x')\over 4\pi|\vec x-\vec x'|^3}$という、$\vec x-\vec x'$という差にのみ依存する関数である。これをxで微分した結果は、-x'で微分した結果と同じになる。ゆえに、$\vec \nabla\to -\vec \nabla'$と置き換える（$\vec\nabla'$は$\vec x'$による微分）。こうしておいて部分積分を使うと、 $$\mu_0\int d^3 \vec x' \vec j(\vec x')\cdot\vec\nabla' {(\vec x-\vec x')\over 4\pi|\vec x-\vec x'|^3}=-\mu_0\int d^3 \vec x' \left(\vec\nabla'\cdot\vec j(\vec x')\right) {(\vec x-\vec x')\over 4\pi|\vec x-\vec x'|^3}$$ と書き直すことができる。ところが、$\vec\nabla'\cdot\vec j(\vec x')={\rm div}\vec j(\vec x')=0$であるので、この項は0となる（表面項は、積分範囲の端では$\vec j$が0になっていると仮定して落とした）。
括弧内第２項には$\vec\nabla\cdot\left({(\vec x-\vec x')\over 4\pi|\vec x-\vec x'|^3}\right)$が登場する。実は $$ {(\vec x-\vec x')\over 4\pi|\vec x-\vec x'|^3}=-{\rm grad}\left({1\over 4\pi|\vec x-\vec x'|}\right)$$ とも書ける。
${(\vec x-\vec x')\over 4\pi|\vec x-\vec x'|^3}$は場所$\vec x'$にある点電荷Qが作る電場の式${Q(\vec x-\vec x')\over 4\pi\varepsilon_0|\vec x-\vec x'|^3}$を$Q\over\varepsilon_0$で割ったもの、${1\over 4\pi|\vec x-\vec x'|}$は同じく場所$\vec x'$にある点電荷Qの作る電位の式${Q\over 4\pi\varepsilon_0|\vec x-\vec x'|}$を$Q\over\varepsilon_0$で割ったものである。
電場の場合、${\rm div}\vec E={\rho\over \varepsilon_0}$または$-\triangle V={\rho\over \varepsilon_0}$だったことを思い出せば、$\vec\nabla\cdot\left({(\vec x-\vec x')\over 4\pi|\vec x-\vec x'|^3}\right)$は${\rho\over\varepsilon_0}$を$Q\over\varepsilon_0$で割ったものである。電荷の分布を考えると、この関数は$\vec x=\vec x'$でのみ0でなく、積分すると原点での寄与がちょうど1になる関数だということになる。
これはδ関数と呼ばれる関数$\delta^3(\vec x-\vec x')$の性質であり、これをかけて積分すると$\vec x=\vec x'$の場所での$\vec j$の値が結果として出る。結局、 $$ {\rm rot} \vec B(\vec x)=\mu_0 \int d^3\vec x'\vec j(\vec x')\delta^3(\vec x-\vec x')=\mu_0 \vec j(\vec x)$$ となる。真空中なので$\vec B=\mu_0\vec H$であることを思えば、これはアンペールの法則${\rm rot}\vec H=\vec j$に他ならない。
[演習問題3-1]右図のように、直線と半円を組み合わせた導線に電流Iが流れている。半円の中心部分での磁束密度を求めよ。}
[演習問題3-2]一辺2aの正方形の形をしたコイルに電流Iが流れている。正方形の中心での磁場を求めよ。
[演習問題3-3]下の図のように、半径aの同じ円形コイルを中心軸を共通にして距離2bだけ離して両者に同じ電流を流した。この時、中心軸の上の磁束密度を求めよ。3.2.1節での結果を使ってよい。
また、二つの円の中心の中点付近での磁場がほぼ一様となるのはa,bにどのような関係がある時か計算せよ。ただしここで「ほぼ一様」というのは、中点からのずれをxとした時、$x^2$までの近似($x^3$以上は無視する)において一定という意味である。
[演習問題3-4]$y={1\over4a}x^2$で表現される放物線の形の導線に電流Iを流した。放物線の焦点（x=0,y=a）にできる磁場の磁束密度を求めよ。
ヒント：積分の方法はいろいろあるが、焦点を中心として下図のような極座標を取るのがよい。この時、焦点から角度θの方向にある電流までの距離は$r={2a\over 1+\cos\theta}$である。電流素辺との外積は、rと$d\theta$で表現することができる。
[演習問題3-5]図のように球面上の、地球でいけば緯線に対応する形で合計N本の導線を巻き付け、各々に電流を流した。それぞれの導線はz座標で見て${2R\over N+1}$ずつ離れている。この時、z軸上での磁束密度を求めよ。ただし、Nは非常に大きいとして、電流の和を積分に置き換えてよいとする。
この節では、電流素辺と電流素辺の間に働く力を計算し、それが電荷と電荷に働く力と類似点を持つことを確認しよう。
二つの電流があり、一方は電流密度$\vec j_1$で領域$V_1$を流れているとする。もう片方は電流密度$\vec j_2$で領域$V_2$を流れているとする。この二つの電流の間に働く力を考えるために、まず$\vec j_1$によって$\vec x_2$に作られる磁場を計算すると $$ \vec B_1(\vec x_2)={\mu_0\over 4\pi} \int_{V_1} d^3 \vec x_1{\vec j_1(\vec x_1)\times (\vec x_2-\vec x_1)\over |\vec x_2-\vec x_1|^3}={\mu_0\over 4\pi} \int_{V_1} d^3 \vec x_1{\vec j_1(\vec x_1)\times \vec e_{\vec x_1\to\vec x_2}\over |\vec x_2-\vec x_1|^2}$$ であり、この磁場によって場所$\vec x_2$にある電流密度$\vec j_2(\vec x_2)$に及ぼされる力は、 $$\begin{array}{rl}\vec F_{j_1\to j_2}= &\int_{V_2} d^3\vec x_2 \vec j_2(\vec x_2)\times \vec B_1(\vec x_2) \\= &{\mu_0\over 4\pi}\int_{V_1} d^3\vec x_1\int_{V_2} d^3\vec x_2 {\vec j_2(\vec x_2)\times \left(\vec j_1(\vec x_1)\times \vec e_{\vec x_1\to\vec x_2}\right)\over |\vec x_2-\vec x_1|^2} \\\end{array}$$ と書くことができる。
ここでベクトル解析の公式$\vec A\times(\vec B\times \vec C)=\vec B(\vec A\cdot\vec C)-\vec C(\vec A\cdot\vec B)$から、 $$\underbrace{\vec j_2(\vec x_2)}_{\vec A}\times \bigl(\underbrace{\vec j_1(\vec x_1)}_{\vec B}\times \underbrace{\vec e_{\vec x_1\to\vec x_2}}_{\vec C}\bigr)=\underbrace{\vec j_1(\vec x_1)}_{\vec B}\bigl(\underbrace{\vec j_2(\vec x_2)}_{\vec A}\cdot\underbrace{\vec e_{\vec x_1\to\vec x_2}}_{\vec C}\bigr) -\underbrace{\vec e_{\vec x_1\to\vec x_2}}_{\vec C}\bigl(\underbrace{\vec j_1(\vec x_1)}_{\vec B}\cdot\underbrace{\vec j_2(\vec x_2)}_{\vec A}\bigr)$$ となる。
第２項は二つの微小電流をつなぐベクトルの向きを向いており、「電流同志が押し合う（引き合う）」という力に対応する。第１項は電流$\vec j_1(\vec x_1)d^3\vec x_1$の方向を向いている力で、作用・反作用の法則を満たさない（１と２の立場を入れ替えると、$\vec j_1(\vec x_1)\left(\vec j_2(\vec x_2)\vec e_{\vec x_1\to\vec x_2}\right)$は$\vec j_2(\vec x_2)\left(\vec j_1(\vec x_1)\vec e_{\vec x_2\to\vec x_1}\right)$となる）。
ここで我々は「電流素辺・電流素辺の間の力」と「電荷・電荷の間の力」を比較しようとしているが、電荷と電荷の間の力はもちろん、大きさ同じで逆向きで、一直線上を向く。比較のためには、同じ形に揃えたい。
そこで、まず作用・反作用の法則に反する部分である第１項について考察しよう。第１項の積分をちゃんと書くと $${\mu_0\over 4\pi}\int_{V_1} d^3\vec x_1\int_{V_2} d^3\vec x_2 \vec j_1(\vec x_1){\vec j_2(\vec x_2)\cdot \vec e_{\vec x_1\to\vec x_2}\over |\vec x_2-\vec x_1|^2}=-{\mu_0\over 4\pi}\int_{V_1} d^3\vec x_1\int_{V_2} d^3\vec x_2 \vec j_1(\vec x_1)\vec j_2(\vec x_2)\cdot \vec\nabla_2\left({1\over|\vec x_2-\vec x_1|}\right)$$ となる。ここで $${\vec e_{\vec x_1\to\vec x_2}\over |\vec x_2-\vec x_1|^2}=-\vec\nabla_2 \left({1\over|\vec x_2-\vec x_1|}\right)$$ という式*1を使った。$\vec \nabla_2$とは、$\vec x_2$に関する微分で作られたナブラ記号である。
ここで$\vec\nabla_2$を部分積分でひっくりかえす。$\vec\nabla_2$というベクトル微分演算子を部分積分でひっくりかえすことに不安を感じる人は、各成分ごとに考えてみるとよい。たとえばx成分だけを考えれば、 $$-{\mu_0\over 4\pi}\int_{V_1} d^3\vec x_1\int_{V_2} d^3\vec x_2 \vec j_1(\vec x_1)j_{2}(\vec x_2){\partial\over \partial x_2}\left({1\over|\vec x_2-\vec x_1|}\right) ={\mu_0\over 4\pi}\int_{V_1} d^3\vec x_1\int_{V_2} d^3\vec x_2 \vec j_1(\vec x_1){\partial j_{2}(\vec x_2)\over \partial x_2}\left({1\over|\vec x_2-\vec x_1|}\right) $$ となる。y成分、z成分も含めて考えれば、第１項は $${\mu_0\over 4\pi}\int_{V_1} d^3\vec x_1\int_{V_2} d^3\vec x_2 \vec j_1(\vec x_1)\vec\nabla\cdot\vec j_2(\vec x_2)\left({1\over|\vec x_2-\vec x_1|}\right)$$ となる。もちろん、$\vec\nabla$の扱いに慣れている人はいっきにこうやってよい。ここで、部分積分の表面項は考えなかった。領域$V_2$が、その端っこにおいて電流密度$\vec j_2$が0になるか、あるいは無限に遠くて$|\vec x_2-\vec x_1|\to\infty$と考えていいという場合を考えているからである。
電流という流れもまた湧き出しなしの流れであることを思えば*2、${\rm div}\vec j=\vec\nabla\cdot\vec j={\rm div}\vec j=0$なのでこの項は0である。残るのは第２項で、結果は $$-{\mu_0\over 4\pi}\int_{V_1} d^3\vec x_1\int_{V_2} d^3\vec x_2 \vec j_1(\vec x_1)\cdot\vec j_2(\vec x_2){\vec e_{\vec x_1\to\vec x_2}\over |\vec x_2-\vec x_1|^2} $$ となる。この式は、電荷間の力の式と強い類似性を持っている。
電荷密度$\rho_1$の電荷が領域$V_1$にいて電荷密度$\rho_2$の電荷が領域$V_2$にいる場合の電荷間に働く力は、 $${1\over 4\pi\varepsilon_0}\int_{V_1} d^3\vec x_1\int_{V_2} d^3\vec x_2 \rho_1(\vec x_1)\rho_2(\vec x_2){\vec e_{\vec x_1\to\vec x_2}\over |\vec x_2-\vec x_1|^2} $$ である。 $$ {1\over\varepsilon_0}\rho_1(\vec x_1)\rho_2(\vec x_2)\to -{\mu_0}\vec j_1(\vec x_1)\cdot\vec j_2(\vec x_2)$$ という置き換えで同じ式である。二つの式が逆符号なのは、「同符号の電荷は反発するが、同方向の電流は引き合う」という状況の違いを示している。
例によって電流がある曲線上にしか存在しない場合は、$\int_V \vec j d^3\vec x \to \int_L I d\vec x$のように、体積積分を線積分に置き換えることができる。こうすると電流間に働く力は $$-{\mu_0I_1 I_2 \over 4\pi}\int_{L_1} \int_{L_2} d\vec x_1\cdot d\vec x_2 {\vec e_{\vec x_1\to\vec x_2}\over |\vec x_2-\vec x_1|^2}$$ となる。
この部分は授業では話さない可能性もあるが、その場合は読んでおいてください。
ところで電流密度は、電荷密度にその場所の電荷の持つ速度をかけることで得られる。つまり、$\vec j=\rho\vec v$と考えられる。それを考えにいれて、電荷の力と電流の力を合わせて書くと、
$$\begin{array}{rl}&{1\over 4\pi\varepsilon_0}\int_{V_1} d^3\vec x_1\int_{V_2} d^3\vec x_2 \rho_1(\vec x_1)\rho_2(\vec x_2){\vec e_{\vec x_1\to\vec x_2}\over |\vec x_2-\vec x_1|^2} \\&-{\mu_0\over 4\pi}\int_{V_1} d^3\vec x_1\int_{V_2} d^3\vec x_2 \left(\rho_1(\vec x_1)\vec v_1(\vec x_1)\right)\cdot\left(\rho_2(\vec x_2)\vec v_2(\vec x_2)\right){\vec e_{\vec x_1\to\vec x_2}\over |\vec x_2-\vec x_1|^2} \\=& {1\over 4\pi\varepsilon_0} \int_{V_1} d^3\vec x_1 \int_{V_2} d^3\vec x_2 \rho_1(\vec x_1) \rho_2(\vec x_2)\left( 1-\varepsilon_0\mu_0 \vec v_1(\vec x_1)\cdot\vec v_2(\vec x_2) \right) {\vec e_{\vec x_1\to\vec x_2} \over |\vec x_2-\vec x_1|^2} \\\end{array}$$
とまとめられることになる。こうしてみると、$\varepsilon_0\mu_0$は速度の自乗分の１の次元を持つ量である。実際、後で示すように、${1\over \sqrt{\varepsilon_0\mu_0}}$には、ある重要な物理現象の速度という意味がある。
計算がたいへんだった（というような感想が多数）
確かにややこしいといえばややこしいんですが、ここはふんばっていきましょう。この程度でめげていては物理はできない。
ベクトル解析の勉強さぼったのが効いている・・・（という感想もいくつか）
やっぱり、大事だからこそ勉強しているんですよ。さぼるとツケが来ます。
$\vec A\times(\vec B\times \vec C)=\vec B(\vec A\cdot\vec C)-\vec C(\vec A\cdot\vec B)$は知りませんでした。
また使うと思うので覚えておきましょう。
授業の始めの復習で思い出すことができた。自分でも復習しないと。
そうしましょう。ちゃんと頭に入れて整理しておかないとたいへんですよ。
計算は見ているだけではだめなので、自分でもやってみようと思います。
良い心がけです。自分で手を動かして計算していきましょう。
ビオ・サバールの法則からアンペールの法則を出したように、アンペールの法則からビオ・サバールの法則を出せるんですか？
出せます。やっぱり計算ややこしいですが(^_^;)
フレミングの左手の法則はマックスウェル方程式から出せるんですか？
直接には出ません（前にいった、電場や磁場の張力・応力で表現することはできる）。フレミングの法則はマックスウェル方程式とは別の物理法則だと思っておいた方がいいでしょう。
電流密度の単位で[A/m]になるのやら[A/m^2]になるのがあるのですが・・・
ええ？？ 電流密度は普通、[A/m^2]ですよ。ムリヤリに「単位長さあたりを流れる電流」というのを定義すれば別ですが・・・・あるとしたら、薄い皮みたいなところを電流が流れている場合でしょうか。
${\partial \over \partial x}f(x-x') = -{\partial \over \partial x'}f(x-x')$の式は奇関数の定義に似ていますが、関係ありますか？
うーん、似ているといえば似ているけどこの関数は奇関数である必要はありません。
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