相対論2007年度第11回

7.2 世界線の長さと固有時
7.3 ４元ベクトルの前に：３次元ベクトルの回転の復習
7.4 ４元ベクトル

学生の感想・コメントから

今日は前回ちゃんと説明できてなかった、space-like、light-like、null-likeの説明から始めた。それにけっこう時間を取ったので少し講義録が短い。この部分の中身については前回分を参照のこと。

あとここで強調したのは、なぜ４次元での長さの自乗は $-c^2 dt^2+dx^2+dy^2+dz^2$ のように時間成分にマイナスがついてしまうのか。これは決まりだから、ルールだからというものではなく、「不変量だから」である。３次元的な長さ $dx^2+dy^2+dz^2$ は、ローレンツ短縮が示すように座標系を変えると同じになるとは限らない。しかし $-c^2dt^2$ を入れておけばちゃんと不変になるのである。

このあたりでしゃべった無駄話。確かこれを言ったのは湯川秀樹先生だったと思うのだが、人間には「スペースライクな人間」と「タイムライクな人間」がいるんだそうである。絵画や景色を楽しむ人は「スペースライクな人間」、音楽や映画を楽しむ人は「タイムライクな人間」なのだとか。

7.2 世界線の長さと固有時†

粒子の軌跡（４次元時空中の曲線になる）を「世界線」と呼ぶ。世界線の長さを上で定義したdsを使って測定する。dsはローレンツ変換によって不変な量である。適当なローレンツ変換をしても値は変らないのだから、計算しやすい座標系で計算すればよいことになる。そこで今考えている粒子がちょうど静止しているような座標系を採用したとする。その座標系を(T,X,Y,Z)とすると、明らかに粒子の運動した線に沿っていけばdX=dY=dZ=0 であるから、

$ds^2 = -c^2 dT^2$

となる。つまり、dsはその物体が静止している座標系で測った時間経過に比例する。比例定数はicである（iがついてしまうのは、 $ds^2$ をspacelike conventionで定義したためである）。 $ds^2=-c^2d\tau^2$ と書くと、このτがまさに、その物体が静止している座標系で測った時間である。つまり、この物体が持っている時計の刻む時間であると考えて良い。そこでτを固有時と呼ぶ。

$d\tau^2 = dt^2 - {1\over c^2}(dx^2+dy^2+dz^2)$

となる*1。固有時τに対し、座標系に対して静止している人にとっての時間tは「座標時」と呼ばれる。この式の両辺を $dt^2$ で割って平方根を取ると、

${d\tau\over dt}=\sqrt{1-{{1\over c^2}}\left(\left({dx\over dt}\right)^2+\left({dy\over dt}\right)^2+\left({dz\over dt}\right)^2\right)}=\sqrt{1-\beta^2}$

となる。つまり、固有時の増加は座標時の増加の $\sqrt{1-\beta^2}$ 倍である。

固有時は、各物体ごとに違う進み方をする。上の式からわかるように、寄り道をすると $dx^2$ が多くなり、結果として固有時の進みは遅れる（ウラシマ効果）。双子のパラドックスの計算なども、運動している物体の固有時が短くなる、と考えれば簡単である。

我々の知っている粒子の世界線はtime-likeであるかnull-likeであるか、どちらかである。世界線がspace-likeだということは超光速で運動している粒子であるということで、そんなものは見つかっていない。もし見つかったら、そのような粒子は見る人の立場によっては未来から過去に向かって走ることになるので、因果律に抵触することになるだろう。

つまり我々は固有時τが進むごとに時間的に４次元時空の中を進んでいるとも考えられる。止まっているならば、固有時τが１増えると、座標時tも１増える。つまり時間方向の座標ctはc増える。つまり「止まっている人間」というのは実は「時間方向に速度cで動いている人」と考えることもできる。動いていると、dxが0でなくなった分だけ、座標時が１増加した時のτの増加が遅くなる。これがウラシマ効果だ、というわけ。

世界線がnull-likeになると、固有時の変化 $d\tau$ は0になってしまう。よって光のように光速で動くものに対しては固有時が定義できない（あるいは定義してもそれは変化しない）。

[問い7-1] 半径R、角速度ωで等速円運動している物体がある。座標時では１周に ${2\pi\over \omega}$ だけ時間がかかるが、固有時ではどれだけの時間になるか？

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7.3 ４元ベクトルの前に：３次元ベクトルの回転の復習†

次の節で４次元時空内でのベクトルを考える。ローレンツ変換は４次元時空間での「回転のようなもの」と解釈できるので、４次元に行く前に３次元空間における回転を復習しておく。

３次元の座標 $x^i(i=1,2,3)$ を回転させる座標変換は、

$\left(\begin{array}{c} x^{\prime1}\\x^{\prime2}\\x^{\prime3} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} A^1_{~1}&A^1_{~2} &A^1_{~3} \\ A^2_{~1}&A^2_{~2} &A^2_{~3} \\ A^3_{~1}&A^3_{~2} &A^3_{~3} \\ \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} x^{1}\\x^{2}\\x^{3} \end{array}\right)$

のように行列で書ける。

これをテンソルで書けば $x^{\prime i}= A^{i}_{~j}x^j$ )となる。Aには具体的には例えば $\left(\begin{array}{ccc}\cos\theta&\sin\theta &0 \\ -\sin\theta&\cos\theta &0 \\ 0&0 &1 \end{array}\right)$ のような行列が入る。

このように座標系が回転した時、３次元空間のベクトル $V^i(i=1,2,3)$ は、

$\left(\begin{array}{c} V^{\prime1}\\V^{\prime2}\\V^{\prime3} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} A^1_{~1}&A^1_{~2} &A^1_{~3} \\ A^2_{~1}&A^2_{~2} &A^2_{~3} \\ A^3_{~1}&A^3_{~2} &A^3_{~3} \\ \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} V^{1}\\V^{2}\\V^{3} \end{array}\right)$

(テンソルで書けば $V^{\prime i}= A^{i}_{~j} V^j$ ) のように、同じ行列を使って回転される。そして、二つのベクトル $V^i,W^i$ があった時、その内積 $\begin{array}{c} (V^1 V^2 V^3) \\ \\ \\\end{array}\left(\begin{array}{c} W^1 \\ W^2\\ W^3\end{array}\right)=V^iW^i=V^1W^1+V^2W^2+V^3W^3$ は保存する。そのことは、行列 $A^i_{~j}$ の性質

$\left(\begin{array}{ccc} A^1_{~1}&A^2_{~1} &A^3_{~1} \\A^1_{~2}&A^2_{~2} &A^3_{~2} \\ A^1_{~3}&A^2_{~3} &A^3_{~3} \\\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} A^1_{~1}&A^1_{~2} &A^1_{~3}\\ A^2_{~1}&A^2_{~2} &A^2_{~3} \\ A^3_{~1}&A^3_{~2} &A^3_{~3} \\\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} 1&0 &0 \\ 0&1 &0 \\ 0&0&1 \\ \end{array}\right)$

(Aijの性質) からわかる。この式をテンソルで書けば $A^i_{~j}A^i_{~k}=\delta_{jk}$ である。この式の左辺の掛け算は、 $A^i_{~j}$ の前の足どうしが同じ添字で足し上げられていることに注意。つまり行列の掛け算ルールに即するためには前の方を転置せねばならない（上の行列での表現もそうなっている）。

また、回転の行列ならばこのような性質を持っていることは、ベクトル $\left(\begin{array}{c} 1\\0\\0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 0\\1\\0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 0\\0\\1 \end{array}\right)$ をこの行列で回転させると $\left(\begin{array}{c} A^1_{~1}\\A^2_{~1} \\A^3_{~1} \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} A^1_{~2}\\A^2_{~2} \\A^3_{~2} \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} A^1_{~3}\\A^2_{~3} \\A^3_{~3} \end{array}\right)$ となることからわかる。

$\vec v_i=\left(\begin{array}{c} A^1_{~i}\\A^2_{~i} \\A^3_{~i} \end{array}\right)$ と置いてみると、 $\vec v_i\cdot\vec v_j=\delta_{ij}$ である。これはすなわち、(Ajiの性質)が成立するということなのである。

$\vec v_i\cdot\vec v_j=\delta_{ij}$ が成立することは内積 $\vec a\cdot\vec b$ が回転という座標変換で不変であることと、 $\vec v_i$ が座標変換を行う前は $\left(\begin{array}{c} 1\\0\\0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 0\\1\\0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 0\\0\\1 \end{array}\right)$ であったことを考えれば当然である。

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7.4 ４元ベクトル†

３次元のベクトル $\vec V=(V_x,V_y,V_z)$ は座標変換の時に、座標 $\vec x=(x,y,z)$ と同じ行列で変換される。その時二つのベクトルの内積が不変量であった（内積のもともとの定義は二つのベクトルの長さと、その間の角のcosの積である。回転によって長さと角度は不変）。

同様に、４成分のベクトル $V^\mu(\mu=0,1,2,3)$ を考える*2。

座標がローレンツ変換( $x^{\prime\mu}=\alpha^{\mu}_{~\nu}x^\nu$ )された時、このベクトルは $V^{\prime\mu}=\alpha^{\mu}_{~\nu}V^\nu$ と同様のローレンツ変換を受けるとしよう。一例をあげると、

$\begin{array}{rlcrl} ct'=&\gamma(ct-\beta x) & &V^{\prime0}= &\gamma(V^0-\beta V^1) \\ x'=&\gamma(x-\beta ct) & &V^{\prime1}= &\gamma(V^1-\beta V^0) \\ y'=&y & &V^{\prime2}= &V^2 \\ z'=&z & &V^{\prime3}= &V^3 \\ \end{array}$ この時、 $\alpha^\mu_{~\nu}=\left(\begin{array}{cccc} \gamma&-\beta\gamma &0 &0 \\ -\beta\gamma&\gamma &0 &0 \\ 0&0 &1 &0 \\ 0&0 &0 &1 \\ \end{array}\right)$

このような変換にしたがうベクトルを４元ベクトルと言う。後で出てくる４元速度、４元加速度、４元力などは全て４元ベクトルである。二つの４元ベクトル $V^\mu,W^\mu$ を考える。では、このようなベクトルによって作られる、座標変換（この場合ローレンツ変換）の不変量はどのようなものだろう。

この二つのベクトルの内積を３次元でと同じように $V^0W^0 + V^1W^1+V^2W^2+V^3W^3$ と定義したとすると、これはローレンツ変換で保存しない。保存するのは、

$\eta_{\mu\nu}V^\mu W^\nu=-V^0W^0 + V^1W^1+V^2W^2+V^3W^3$

である。これを４次元的な内積と考えよう。４次元の内積がローレンツ変換で保存することは、

$\eta_{\mu\nu}V^{\prime\mu} W^{\prime\nu}= \eta_{\mu\nu}\alpha^\mu_{~\rho}V^{\rho} \alpha^\nu_{~\lambda}W^{\lambda}=\underbrace{ \eta_{\mu\nu}\alpha^\mu_{~\rho}\alpha^\nu_{~\lambda}}_{=\eta_{\rho\lambda}}V^{\rho} W^{\lambda}=\eta_{\rho\lambda}V^\rho W^\lambda$

からわかるし、そもそもVと同じ変換をするxで作られた $\eta_{\mu\nu}x^\mu x^\nu$ が不変量であったことからもわかる。

授業では、このあたりの計算を行列で表現して示した。

$\left(\begin{array}{cccc}\gamma&-\beta\gamma &0 &0 \\ -\beta\gamma&\gamma &0 &0 \\ 0&0 &1 &0 \\ 0&0 &0 &1 \\ \end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}-1&0 &0 &0 \\ 0&1 &0 &0 \\ 0&0 &1 &0 \\ 0&0 &0 &1 \\ \end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}\gamma&-\beta\gamma &0 &0 \\ -\beta\gamma&\gamma &0 &0 \\ 0&0 &1 &0 \\ 0&0 &0 &1 \\ \end{array}\right)$