「よくわかる解析力学」（東京図書）サポート掲示板 †
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p358 問5-4解答 誤植 †
ぬらりひょん? (2017-04-20 (木) 23:40:17)
「$ Y=X^2 $ だから $\frac{dY}{dt} = X \frac{dX}{dt}$ となり...」の部分ですが、「$ Y=X^2 $ だから $\frac{dY}{dt} = 2X \frac{dX}{dt}$」となる筈です。
- 追記です。 同じ問題のEuler Lagrange方程式の$\frac{\partial L}{\partial X}$ の部分も間違えている気がします... $-mg$じゃなくて、$-2mgX$ だと思います。 -- ぬらりひょん?
- 追記です。 同じ問題のEuler Lagrange方程式の$\frac{\partial L}{\partial X}$ の部分も間違えている気がします... $-mg$じゃなくて、$-2mgX$ だと思います。 -- ぬらりひょん?
p127 †
ぬらりひょん? (2017-04-20 (木) 01:05:18)
(5.64)で角運動量が保存することを導出していますが、角運動量が保存するのは 中心力場中の運動or外力がゼロ の場合に限る筈です。
ところが(5.62)式は、これらの情報を一切含まない、一般的な位置ベクトル $\vec_{r}$ と運動ベクトル $\vec_{p}$ から作られています。
それを時間微分した(5.64)から角運動量保存則が出てくるのは不自然に感じます(一般的な角運動量は常に保存することになってしまうと思います)。
- $ \vec{r} $ と $\vec{p}$ に習性します。 -- ぬらりひょん?
p86 仮想仕事について †
関? (2017-04-18 (火) 00:48:25)
仮想仕事の式で仮想変位→δxには添字のiがついていませんが必要ないのでしょうか？もう一つ、そうだとしても仮想仕事が0⇒トルクの和も0 というところが分かりません。教えていただきたいです。
- 仮想変位に添字がつかないのは一つの物体に着目しているからですね。すみません。 -- 関?
- もう一つの疑問が解決できません。よろしくお願いします。 -- 関?
- 仮想仕事が０ならトルクが０、というのは６１ページで説明してある（正確には６１ページにあるのはこの逆ですが、逆向きにたどってもらえば）のですが、これではわかりにくいということでしょうか。 -- 前野?
- ようは、仮想変位として「物体を回す」という変位を考えれば、それによる仮想仕事が（トルク）×角度という形になる、ということです。 -- 前野?
- 仮想仕事が0⇒力の釣り合い」が言えているのだから(3.24)は確かに逆から辿れますね。ありがとうぎざいました。助かりました。 -- 関?
p77について †
関? (2017-04-09 (日) 18:39:41)
(3.62)の左辺第二項にy’/yをかけて積分ということですが、すると∫{y’’/y^2 - （y’^2)/y^3 }dyという計算をすることになります。その結果が(3.63)の左辺第二項になるらしいということで(3.63)の左辺第二項をyで微分してみようとしたのですが、y’のy微分がでてきてしまって詰まってしまいました。これは私が勘違いをしているのでしょうか、それとも解決の方法があるのですか。
- (3.63)の左辺第２項を微分したのなら、答えは$-{y'\over y}{\mathrm d\over\mathrm dx}\left({y'\over y}\right)$になります。 -- 前野?
- これは(3.62)の左辺第２項に${y'\over y}$を掛けたものですね（計算としてはもちろん逆で、まず(3.62)に${y'\over y}$を掛けて$-{y'\over y}{\mathrm d\over\mathrm dx}\left({y'\over y}\right)$を出して、「あ、これは$-{1\over2}\left({y'\over y}\right)^2$の微分だ」と気づくという順番ですが）。 -- 前野?
- というか「積分して」をｙで積分すると解釈したのですか。それは無理でしょう。 -- 前野?
- 御教授ありがとうございました。 -- 関?
p３８について †
関? (2017-04-07 (金) 09:47:57)
ここではFの一階微分を用意した後、X＝０周辺でのテイラー展開をしていますが、せっかくの任意のxでの微分がX＝０付近で展開することにより一般性を欠いてしまっているように思えてしまうのですがこの操作はどのように解釈すれば良いでしょうか。
- テイラー展開はδｙ’＝０の周辺でやってます。δｙおよびδｙ’が０というのが「変分を取る前」なので「取る前」と「取る後」の差を計算するという、「今まさにやりたかったこと」を実行しているのであって、一般でなくなったわけではありません。 -- 前野?
- δyは微小ですが、その場合δy’も0の周辺の値をとることが保証されているということですか? -- 関?
- δｙが微小なので、その微分も必然的に微小になります。 -- 前野?
- それにいたるところでδｙ＝０にセットしたら、必然的にδｙ’＝０になりますよね。 -- 前野?
- では正確な言い回しではないかもしれませんが、ここでの操作(変分?オイラーラグランジュ方程式?)というのは本来恒等的に0を示す関数δyをもってきてテイラー展開をした後、δyが本来恒等的に0をとる関数であったことを都合の良いように思い出して原点付近での展開にするようなから操作ということでしょうか -- 関?
- 「本来恒等的に０を示す」というのは違います。今求めているのは考えている量が停留する条件で、その条件が満たされるための条件がオイラーラグランジュ方程式で、それが（２．４２）で、結果としては直線である場合に今考えている答えになります。 -- 前野?
- ｙという関数がどんな関数でもいいのだったらそもそも求める意味はありませんから。ｙがどんな関数だったらδIが０になるのかということを求めてます。 -- 前野?
- δｙ＝０になる線が「求めたい解」で、オイラーラグランジュ方程式は「求めたい解」の条件（ｙに対する条件）を求めてます。 -- 前野?
- ここでやっている計算はたとえば$y=x^2$の停留点を求めるために（答えは$x=0$ですが、それは知らないとして）あえて$x=a+\delta x$と置いてみると$y=(a+\delta x)^2 = a^2 + a\delta x +(\delta x)^2$となる（この時点では$a$は特別な場所でもなんでもない）。 -- 前野?
- ここで「停留点だから$y$の変化量は０のはず」と考えて$a\delta x=0$と置く（2次の微小量は無視）。「ということは$a=0$だな」と「停留点」が求まる。 -- 前野?
- 関数$y$を$y+\delta y$と置き換えて計算していますが、そこで$y$に特殊な条件をつけているわけではなく、最後に「停留する」という条件で$y$という関数が決まるというのがオイラーラグランジュ方程式です。 -- 前野?
- 丁寧に教えていただき助かりました。ありがとうございました。 -- 関?
リプシッツ条件と解の一意性について †
み? (2017-03-26 (日) 14:38:15)
p220の脚注18に「リプシッツ条件を満たす時であれば解は一意である。これを満たさない場合では解は一つに決まらない」とありますが、これは リプシッツ連続⇔解が一意 ということになってしまいませんか？
- 確かにここは「解は一つに決まるとは限らない」とすべきですね。訂正します。 -- 前野?
保存則と対称性について †
ちゃまろ? (2017-03-26 (日) 13:10:03)
ポテンシャルが相対座標にのみに依っている場合、運動量は保存しますが、相対位置だけでなく時間にも依っている場合は、運動量は保存するのでしょうか？
- これについては導き方を見れば、空間的な並進対称性があれば運動量は保存することがわかるので、ポテンシャルが時間依存しても大丈夫です。 -- 前野?
- それではそのような場合、運動量が保存しつつ、力学的エネルギーは保存しないということになるのでしょうか？ 非弾性散乱以外にそのようなものはあるのでしょうか？ -- ちゃまろ?
- もちろんそうなります。説明してあるとおりです。これはポテンシャルの式が時間によって変わる問題なので、そういう状況を考えればいくらでも思いつけるはずです。たとえばバネ定数が時間変化するようなバネで物体をつなぐとか。 -- 前野?
- なるほど。御忙しい中ありがとうございました。 -- ちゃまろ?
P224の図について †
昔の物理学生? (2017-03-19 (日) 12:21:32)
(q+δq,p)のδt秒後の式のp座標の最後の項は+ではなく-かと思いますが如何でしょうか？
そうでなければ)9.50)と整合性が取れません。
- これは確かに、式と図があってませんね。式の方が正しく、符号はマイナスです。 -- 前野?
- 早々のご対応有難うございます。 -- 昔の物理学生?
p187 3つ並んだ図 †
ぬらりひょん? (2017-03-11 (土) 18:05:47)
この図において、$I_{ZZ}E=| \vec{L} |^2$は3つとも成り立っていますか？図だとよくわからないのですが、Z軸の北極南極で球と楕円体が接しているように見えます。
また、p187の下から5,4行目ですが 2つの保存則を満たす状態はグラフ上にない とあります。ところが、p184〜185では 自由回転(外力が働かずに保存則が成立する)を出発点にし求めたEulerの運動方程式からコマの運動を解析しています。だとすれば、p187のグラフ上に保存則が成り立つ点が存在しないのは矛盾しているように感じます。
- 前半ですが、ここではｚ軸の北極南極で球と楕円体が接していて、ちょうどこの式が成り立つ場合になってます。 -- 前野?
- ｚ軸上ということは、$L_X=L_Y=0$で、その場合エネルギーの式は${(L_Z)^2\over I_{ZZ}}=E$に、角運動量の式は$(L_Z)^2=|\vec L|^2$となります。 -- 前野?
- 後半ですが「保存則を満たす状態は【略】『グラフ上の近傍』にはない」という言葉が少しわかりにくくてすみません。この「近傍にはない」というのは、「エネルギー保存則を満たす状態があるけど、その近傍にはない（エネルギー保存則を満たす状態は孤立している）」という意味で書いてます。 -- 前野?
p175 FAQ †
ぬらりひょん? (2017-03-05 (日) 19:03:10)
3行目の $ \vec{X}=X \vec{e_X} +Y \vec{e_Y} +Z \vec{e_Z}$ が定ベクトルでないことが納得できません。たしかに慣性系からこの座標系を観測したら、刻一刻と基底ベクトルが変化しますが、$ \vec{X}$の座標系から見る限りでは定ベクトルになりそうな気がします。
- それはもちろん、見る立場で変わります。ここでは慣性系から見た場合の話だと思ってください。 -- 前野?
p118 †
ぬらりひょん? (2017-03-05 (日) 16:40:00)
(5.27)は、(5.20)のEiler Lagrange Eq.に $\frac{d \theta}{dt}=\frac{h}{mr^2}$ を代入している形になっています。
ところがこの下にあるLegendre変換では、それをやってはいけないと書いてあります。この両者には、どのような違いがあるのでしょうか。
- TeX 前より少し上達しました笑 丁寧なアドバイスありがとうございます。 -- ぬらりひょん?
- 「やってはいけない」のは「ラグランジアンに$\dot\theta={h\over mr^2}$を代入して、そこからEuler-Lagrange方程式を出すこと」です。(5.27)ではEuler-Lagrange方程式を作った後で代入してます。 -- 前野?
- 「やってはいけない」理由は偏微分をするときに「何を固定しているか」を変えてはいけないということでしたから、偏微分が終了した後でなら、変えても問題ないわけです。 -- 前野?
- ありがとうございます。疑問点が氷解したようです。、 -- ぬらりひょん?
p64 †
ぬらりひょん? (2017-03-05 (日) 16:12:59)
既出でしたら申し訳ございません。
64ページの上から8行目
「...ぐらつきや摩擦が存在しエネルギー(仕事)のロスが...」
の部分ですが、正しくは
「...ぐらつきや摩擦が存在 せず エネルギー(仕事)のロスが...」
となると思います。ご確認のほどお願い致します。
- 確かにどっちとも取れる感じの文章になってますね。「ぐらつきや摩擦が原因でエネルギー（仕事）のロスが発生」と直したいと思います。 -- 前野?
p67について †
関? (2017-03-04 (土) 15:25:24)
p67の3.4.2の二行目に、「これの変分をとると‥」という記述がありますが、私にはこの操作はポテンシャルをxで偏微分して、微小なδxとの積をとって微小な変位による仕事を求めたようにしか読めません。変分とは微小な関数をある関数に加えたことによる、ある関数の変化をみることをいうのではないのですか?
- 変分という言葉は割りと広めに使われることもあるので、「位置をちょっと動かす」という程度の意味で捉えてください。 -- 前野?
- ご教授ありがとうございます。助かりました。 -- 関?
- ご教授ありがとうございます。助かりました。 -- 関?
p285とp287の調和振動子の例題について †
ジョン? (2017-02-26 (日) 17:31:13)
いつも前野先生の著書にはお世話になっております。
$S(q,t) = W(q) -Et $
と書かれていますが、これは時間に関するルジャンドル変換をして
$S(q,t) = W(q,E) -Et $
ではないのでしょうか。p285には$S(q,t) = W(q) -Et $ と書かれていますが、これだと
p287の(11.28) の $\frac{\partial{W}}{\partial{E}} $が０となると思われますが、いかがでしょうか。
お忙しいとは存じますが、ご回答のほどよろしくお願いいたします。
- WがEにも依っているのはそのとおりで、そう書いた方がよかったかもしれません。ここではもはやEは定数（もしくは、パラメータ）扱いなので明記しなくてもよいかと（執筆時の私は）思ってこうしたのだろうと思うのですが。 -- 前野?
- ご回答ありがとう御座います。理解しました。 --
- もう１つご質問なのですが、例えばEが時間とともにゆっくり変化する場合、つまり断熱普遍量である場合、引数EはWに入ってくると思うのですが、この場合、ハミルトンヤコビ方程式は完全解ではなくなるのでしょうか。 --
- その場合、厳密な意味ではｔが変数分離できないわけで、$-Et$と切り出すことができない（近似としての計算になる）ことになります。 -- 前野?
演習問題 4-2 並進不変性について †
40さい物理志向? (2017-02-25 (土) 14:43:15)
複数の粒子の運動として並進不変性が保たれるポテンシャル、保たれないポテンシャルのイメージを描きたいのですが、保たれないポテンシャルの例として分かりやすい現象を教えて頂ければ幸いです。
たとえば場所によって変化するポテンシャルの場合は不変性が保たれないといった単純な理解だけしていれば良いでしょうか？
演習問題 4-1 (E.76) について †
40さい物理志向? (2017-02-25 (土) 13:14:05)
一番左の式の分子はx1-x2になる？かと思いますが、如何でしょうか。
- そうですね、$x_1-x_2$です。修正しておきます。 -- 前野?
p134 †
ぬらりひょん? (2017-02-15 (水) 02:31:22)
(5.85)の右辺第二項にある-mgrsinθの部分ですが、(5.84)の-mgzの部分を極座標表示に変更しただけですよね？ この場合(5.85)の対応する部分は-mgrcosθとなる筈です。
- あ、ほんとだ。すみません。cosに訂正します。 -- 前野?
- 対応ありがとうございます。大学院試験の勉強に使わせて頂いております。今後ともどうぞよろしくお願い致します。 -- ぬらりひょん?
P75（3.57） †
40さい物理志向? (2017-02-13 (月) 13:15:34)
ここで行われているような、式の展開はほかにもあるのかと思いますが、どういったカテゴリーになるのでしょうか？数学のどの分野を勉強すれば整理できますでしょうか？
- う〜ん。普通に代入しているだけなので、特に名前がついているような計算ではないですが。。。 -- 前野?
- 有り難うございます。やってみます -- 40さい物理志向?
- あ！わかりました。有難うございます。単なる代入ですね。でもどうしてこんなことを思いつくのか、思考過程がわからないです。 -- 40さい物理志向?
練習問題3-1について †
40さい物理志向? (2017-02-11 (土) 17:22:20)
大変恥ずかしながらヒントの（D.1）がどうしてこうなるのかよくわかりません。
$\displaystyle\ |x_i^2-x_j^2| $
を全微分すると確かにD.3になるのですが、そういう解釈であってますでしょうか？
- D.3とありますがD.1の間違いです。 -- 40さい物理志向?
- D.3とありますがD.1の間違いです。 -- 40さい物理志向?
- はい、その考え方です。 -- 前野?
- 有り難うございます。 -- 40さい物理志向?
p98(4.35)について †
キシモト? (2017-02-03 (金) 15:38:08)
はじめまして。
この式の最後の等号では偏微分の順序交換が行われていると思うのですが、表面項は基本的にシュワルツの定理を満たすものなのでしょうか？また、表面項の具体例をよろしければ教えて頂けませんか？
- 物理で出てくるような関数はたいてい二階微分可能な、おとなしい関数なので、偏微分の交換が不可になることはまずありません（もちろん二階微分できない関数が出てきたときはこの話は成り立たないと思ってください）。 -- 前野?
- 表面項の例ですが、１０２ページの問い４−２で出てきてます。 -- 前野?
- 丁寧なご回答ありがとうございます。 -- キシモト?
2.58における(x')^2は何故「めんどう」なのでしょうか？ †
40さい物理志向? (2017-01-18 (水) 09:46:12)
どうして面倒なのが直感的にわかるのでしょうか？
- 微分方程式を解くという計算をしているわけですが、微分された量（$x'$や$x''$）に関して１次の項は比較的計算が楽ですが、$(x')^2$のように２次の項があると因数分解やルートを取るなどの計算が必要になってきて面倒になる、という予想です。 -- 前野?
- 丁寧にお答えいただき、有難うございます。 -- 40さい物理志向?
たびたびすみません。。お時間ゆるせばお願いします。 †
40さい物理志向? (2017-01-05 (木) 17:23:37)
P9(1.14)は下向き加速度で、両物体とも-mgで計算するべきなのかと思いますが、「-」はつけても付けなくても良いものなのでしょうか？
- $\vec g$とベクトルで表現しているときは、ベクトル$\vec g$そのものが下向きの量です（符号に当たるものはその中に既に入っている）。 -- 前野?
- 有り難うございます。なるほどです。 -- 40さい物理志向?
10章(10.26について) †
40さい物理志向? (2017-01-03 (火) 10:49:46)
右辺のϵはωではだめでしょうか？敢えてϵにされていますでしょうか？
- 正月暇だったのでかなり進みました。一通り読み終わったのではしょってしまった演習問題をクリアして、次の課題に進もうと思います。 -- 40さい物理志向?
- 実は大学時代、解析力学の単位を落としました。。。私にとっては相対論や量子力学よりも難解で、試験勉強をする意欲をまったく失い、そのまま落としてしまいました。 -- 40さい物理志向?
- すいません、ミスです。新しい版では直ってます。 -- 前野?
- この本がなければ一生そういうもので終わっていました。ここまで詳しい本を書いてくださったことに心から感謝いたします。解析力学が自習できるとは思ってもみませんでした。 -- 40さい物理志向?
- ありがとうございます。そんなふうに言っていただけると、本を出したかいがあったと思います。こちらこそ、読んでいただいて、感謝いたします。 -- 前野?
演習問題9-1について †
40さい物理志向? (2017-01-01 (日) 12:59:07)
ヒントのE33式はミスプリでしょうか？右辺第一項はrではなくr^2？
- そうすると、E148のほうもr^-2は不要でミスプリでしょうか？ -- 40さい物理志向?
- 正準方程式も最後のr^-2が無くなりますか？ -- 40さい物理志向?
- すみません、E33はたしかにミスプリのようですが、それ以降は私の計算違いでした。Pθにするには分母のr^2は間違いなかったです。 -- 40さい物理志向?
- あ、でもE148は第一項の分子の２が消えますので間違いと思います。 -- 40さい物理志向?
- E148ではなくE149の右辺第一項「２」です --
- (E.33)式の$r$は$r^2$です。 -- 前野?
- (E.149)の第２項は、２を消して分母を$mr^3$に直さないと駄目ですね。すみません。 -- 前野?
仮想仕事の原理について †
(2016-12-28 (水) 21:03:07)
仮想仕事の原理は拘束力が仕事をしないような系においてしか適用出来ず、従って摩擦力が働くような系においては適用出来ないと、多くの本に書いてあるのですがそもそも摩擦力というのは拘束力に分類されるものなのでしょうか？
- 摩擦力は拘束力には入れないのが普通だと思います。 -- 前野?
- 補足しますと、「拘束力」と呼ばれるのは通常「３次元空間（２次元平面でもいいけど）内にある物体の座標をある線（１次元）とか面（２次元）とかの上に制限するように加えられる力」という意味で捉えられます。摩擦力は運動の邪魔はしますが、動くこと自体を制約しません。 -- 前野?
- と、ここまで書いた後で思い至りましたが、静止摩擦力が、「けっして最大静止摩擦力を超えることがない」という条件のもとで掛かっているならば、「今設置している場所から動かない用にする」という意味では拘束力ですね。そこまで考えての上なら「最大静止摩擦力を超えることのない静止摩擦力は拘束力に入れていい」と言えるかもしれません。動摩擦力はどう考えてもダメです。 -- 前野?
- 摩擦力が拘束力に分類されないということは、摩擦力が働いている系においても仮想仕事の原理は適用出来るということでしょうか？ --
- 仮想仕事の原理が使えるか使えないかを「拘束力だから」「摩擦力だから」という考え方で判断しようとするのが間違いです。仮想仕事の原理は（本の中で説明したように）力がつりあっている場合ならいつだって使えます。 -- 前野?
- よく「拘束力が働いていると使えない」という言い方をされることがありますが、それは拘束力は多くの場合（垂直抗力にしろ静止摩擦力にしろ）「未定の力」であり、それを式に入れてしまうと未知数が増えるだけで「問題を解く」ということに貢献しないからです。仮想仕事の原理の場合、仮想仕事を考えるので「考えている物体を仮想変位しても仕事をしない力」は式に最初から出てこないということになる、というだけのことです。 -- 前野?
- このあたりのことは3.1.2節あたりから説明しているので、よく読んでください。摩擦力であってもつりあいの状態なら仮想仕事の原理に組み込めます。 -- 前野?
- 3.2.3節の最初の例においても拡張された仮想仕事の原理を使えばやはり仮想仕事は０になり、仮想仕事の原理は適用できますよね？ --
- 「拡張された仮想仕事の原理」って何ですか？？ -- 前野?
- 正確には4.1.2節の「ダランベール原理による仮想仕事の原理の拡張」です。 --
- それは動力学になるから、話がまるで違ってきます。また、3.2.3節の最初の例は複数の物体に働く力のする仕事が消し合わない例なので、この二つの物体をまとめた形で仮想仕事の原理を使うことはできません（拡張しようがしまいが）。 -- 前野?
- 最小の例において仮想仕事の原理が適用出来ない理由というのは荷物B の仮想仕事が0にはならないからということでしょうか？ --
- 静力学でのテクニックを動力学でも使えるようにしたのが、ダランベールの原理の恩恵だと理解しているのですが、両者の間で、どのように話がまるで違ってくるのでしょうか？ --
- 本に書いてあるとおり、二つの物体の接触点がすべっているような場合は二つの物体の間に働く力のする仕事が消し合わないので「内力を無視できる」という仮想仕事の原理を使うメリットが消えてしまいます。荷物Bだけなら別にいいですが、二つをまとめて考えて、ということができなくなります（ということも説明してありますので読んで下さい）。 -- 前野?
- ダランベールの原理を使ったからといって、静力学の段階で使えなかったものが使えるように変わったりしません。「なぜ使えないのか」という点を理解してください。 -- 前野?
- 理解しました。丁寧なご説明ありがとうございました。 --
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