「よくわかる量子力学」サポート掲示板２のバックアップ(No.120)

「よくわかる量子力学」（東京図書）サポート掲示板 †

mathjaxを使って、TeX形式で数式を打てるようにしてあります。＄または＄＄（もちろんほんとは全角じゃなく半角の「ドル」です）で囲んで入力してください。
spam避けに、httpを含む文章と、英字のみの文章は登録できなくしてあります。

p190の運動エネルギーについて †

TK? $2025 - 04 - 05 (土$ 00:57:48)

真ん中あたりの「運動エネルギーが負であると解釈できる領域」という文章の「運動エネルギー」という主語は、x>0における $- \frac{ℏ^{2} κ^{2}}{2 m}$ 、つまり、 $E - V_{0}$ のことを指していると解釈して大丈夫でしょうか？

そういうことです -- 前野? 2025-04-05 $土$ 08:44:39 New

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$12.73$ 式から $12.74$ 式へ †

松見池の鴨? $2025 - 02 - 11 (火$ 19:29:06)

演算子の複合の上の方にに $ψ_{l}$ をかけるとありますが、なぜ上側を選んだのでしょうか？上側の方の固有値の方が下側より大きくなるからでしょうか？よろしくお願いします。

$ψ_{ℓ}$ よりも上がないので、 $L_{+}$ を掛けると０になるからです。上の方に $L_{+} ψ_{ℓ} = 0$ の説明があります。 -- 前野? 2025-02-11 $火$ 19:35:53
なるほど！確かに上側を選ぶと $L_{-}$ $L_{+}$ の順になって0になりますね…では別に下側を選んだとしても答えは変わらないのでしょうか？ -- 松見池の鴨? 2025-02-11 $火$ 20:02:35
なるほど！確かに上側を選ぶと $L_{-}$ $L_{+}$ の順になって0になりますね…では別に下側を選んだとしても答えは変わらないのでしょうか？ -- 松見池の鴨? 2025-02-11 $火$ 20:06:38
$L_{-} ψ$ がどうなるか考えなくてはいけないので、考えることが増えます。下を選ぶなら $ψ_{- ℓ}$ を持ってくると楽。 -- 前野? 2025-02-11 $火$ 20:32:42
なるほど！ありがとうございました。 -- 松見池の鴨? 2025-02-11 $火$ 21:10:12

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形式的証明としては？ †

物理のヒヨコ? $2025 - 02 - 11 (火$ 04:16:01)

お早うございます、お世話になります。

P.338の【問3-3】 $4$ で、「形式的証明しては」とありますが、「形式的証明としては」とかの様な気もするのですが？

そうですね「形式的証明としては」に訂正します。 -- 前野? 2025-02-11 $火$ 16:10:41

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P269の一文について †

松見池の鴨? $2025 - 02 - 11 (火$ 00:05:16)

$L_{x}$ , $L_{y}$ は $| L |^{2}$ と交換するから～の文の意味がよくわかりません…交換することが $| L |^{2}$ の固有値を変えないことにつながるのはなぜでしょうか？よろしくお願いします。

演算子をA,Bとして、交換するとは $A B = B A$ ということ。今 $B$ の固有値が $λ$ である状態 $ψ$ があった（つまり $B ψ = λ ψ$ ）としたら、 $A B ψ = A λ ψ = λ A ψ$ なので、つまり $B A ψ = λ A ψ$ 、よって $A$ によって固有値は変わりません。 -- 前野? 2025-02-11 $火$ 16:08:25
なるほど！理解出来ました。ありがとうございます。 -- 松見池の鴨? 2025-02-11 $火$ 19:17:14

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規格？正規？ †

物理のヒヨコ? $2025 - 02 - 05 (水$ 02:14:55)

今晩は、お世話になります。

P.149の下の方で、「このような基底を規格直交基底と呼ぶ」と書いてありますが、その直後に「「正規」とは、同じもの同士の内積・・・」とも書いてあるのですが、どちらが正しいのでしょうか？

この文脈であは「規格」と「正規」は同じなので、後ろの正規は「規格または正規」と読み替えて下さい。つまりどっちも正しいです -- 前野? 2025-02-05 $水$ 04:55:12
分かりました。正規の所にどちらでも良いという意味で（規格）と付け加えて置きます（書き込む）。お答え有難うございました。 -- 物理のヒヨコ? 2025-02-05 $水$ 06:32:19

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（6.19）式 †

物理のヒヨコ? $2025 - 02 - 01 (土$ 04:09:28)

お早うございます、お世話になります。

出版後に発見されたミスを記載するところに、

「P.124の（6.19）式の右辺にマイナスが必要です」

と書かれていますが、もしかして（6.20）式のことですか？

すいません、その訂正がかなり前のなので、（6.19）の正しい式を書いておきますと、 $\frac{d}{d t} \int_{a}^{b} ψ^{*} (x, t) ψ (x, t) d x = - {[J (x, t)]}_{a}^{b} = - J (b, t) + J (a, t)$ です。（6.20）は $J (x, t) = \frac{i ℏ}{2 m} (\frac{\partial ψ^{*} (x, t)}{\partial x} ψ (x, t) - ψ^{*} (x, t) \frac{\partial ψ (x, t)}{\partial x})$ です。 -- 前野? 2025-02-01 $土$ 08:50:17
とすると、【問6-5】の答えである（D-25）式の－iℏ/2m[∂ψ*/∂x・ψ - ψ*・∂ψ/∂x]（a~b）の－は [ ] の中に入れないのですね。返答ありがとうございました。 -- 物理のヒヨコ? 2025-02-01 $土$ 11:38:44

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交換関係の中に残す？ †

物理のヒヨコ? $2025 - 01 - 16 (木$ 03:26:32)

今晩は、お世話になります。

P.119の最後の方で「━（省略）━ 後ろにあるもの（今の場合^C）を後ろに出して前にあるもの（今の場合^B）を前に出したものになる」とありますが、
「━（省略）━ 後ろにあるもの（今の場合^C）を後ろに出して前にあるもの（今の場合^B）を交換関係の中に残したものになる」の様な気もするのですが、勘違いでしょうか？

すいません、これは確かにおっしゃるとおりで、私の書き間違いですね。 -- 前野? 2025-01-16 $木$ 08:15:53

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dx †

[[物理のヒヨコ　 ]] $2024 - 12 - 03 (火$ 01:32:12)

今晩は、お世話になります。

P.112 式（5.22）の２行目の積分は、もしかして dx が抜けていませんか？

すいません、確かに抜けてます。 -- 前野? 2024-12-03 $火$ 05:55:15
あと、前から疑問だったのですか、波動関数 ψ に対する複素共役 ψ* や、固有ベクトル（x、y）← 縦に対する（x*、y*）← 横や、ケットベクトル -- 物理のヒヨコ? 2024-12-03 $火$ 19:04:10
｜ψ ＞に対する＜ ψ｜ブラベクトルなどの共役転置したベクトルは、元のベクトル空間の元に対応する双対ベクトル空間の元と見なしても良いのでしょうか？ -- 物理のヒヨコ? 2024-12-03 $火$ 19:10:38
はい、そうですよ。 -- 前野? 2024-12-03 $火$ 20:02:45
やはりそうでしたか！お答え有難うございます。 -- 物理のヒヨコ? 2024-12-03 $火$ 20:53:56

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束縛と散乱 †

井上恭輔? $2024 - 09 - 20 (金$ 11:02:33)

「よくわかる量子力学」ページ197に「束縛状態とは、名前のとおり、粒子がポテンシャルに束縛されて「遠く」に行けない状態である。波動関数 $ψ (x)$ が $x \to \pm \infty$ で $0$ になるような場合と考えてもよい。」とあります。これをそのまま受け取ると（自由粒子問題での）ガウス波束の定める状態は束縛状態であることになってしまいます。

修正案その1。ためしに、「位置期待値が時刻 $\to \infty$ で遠方に行く」を散乱の定義にするのはどうでしょうか。いえ、波数（の役目をするパラメータ）が $0$ のガウス波束のように位置期待値が一定で位置標準偏差が時とともに減ることも散乱に含めようと思います。そこで、どれだけ大きい半径有限の範囲（区間） $D$ をとっても $lim_{t \to \infty} \int_{D} d x | ψ (x, t) |^{2} = 0$ となることを散乱とするのはどうでしょうか。束縛は、ある程度大きい範囲 $D$ をとると $\int_{D} d x | ψ (x, t) |^{2}$ が $t$ によらずずっと $1$ に近い（井戸からの染み出しが小さい）こととするのはどうでしょうか。 -- 井上恭輔? 2024-09-20 $金$ 11:03:02
修正案その2。「 $H$ の固有関数のうち遠方で落ちるもの（絶対値2乗積分が正で有限の値）やその重ね合わせであらわされる状態が束縛状態」、「 $H$ の固有関数のうち遠方で落ちない（絶対値2乗積分が $\infty$ ）ものたちを積分の意味で重ね合わせて、絶対値2乗積分が正で有限の値となった関数であらわされる状態が散乱状態」はどうでしょうか。教科書の定義では「固有関数」、「重ね合わせ」という言葉が抜けていたということでしょうか。 -- 井上恭輔? 2024-09-20 $金$ 11:03:22
「遠くに行けない」ということで表現できているつもりだったのですが、確かに後ろの「 $x \to \pm \infty$ で0になるような場合」だけを見ると「一瞬そうだがその後広がる場合」が排除できてないかもしれませんね。「０である状態が続くような場合」と簡単な修正をしておこうと思います。 -- 前野? 2024-09-23 $月$ 16:53:36

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演習問題2-4　ヒント・解答についてのご質問 †

ℏ? $2024 - 09 - 07 (土$ 20:55:46)

p2wにある $E .2$ 式で、x=1/r とおいた時に $\pm の添え字省略$ 、なぜ積分範囲のr は 1/x ではなく x が正しいのですか？
　また、 x=1/r としたときに、p13wにある $F .13$ 式の最後の等号はなぜ成立するのですか?

　よろしくお願いします。

ｒの積分ではなくｘの積分にしたので、その積分範囲が表しているのは、ｘです。1/xにしたらむしろ間違いです。 -- 前野? 2024-09-07 $土$ 21:53:32
（F.13）の最後の等号は、 $x_{-} = \frac{1}{r_{-}}$ と $x_{+} = \frac{1}{r_{+}}$ を代入して整理すれば出てきます。 -- 前野? 2024-09-07 $土$ 21:54:32
自分の間違いを理解することができました。ありがとうございます。 -- ℏ? 2024-09-08 $日$ 02:28:23

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演習問題11-1 解答　 $F .73$ 式について †

じょせふ? $2024 - 08 - 28 (水$ 18:50:26)

演習問題11-1の解答において、\ $ψ_{0} \), $ψ_{1} $ の時間項を考慮すると、 (F .73$ 式は$\int dx\psi_1^*a^\dagger\psi_0=e^{i\omega t}$　とならないでしょうか？

演習問題11-1の解答において、 $ψ_{0}$ , $ψ_{1}$ の時間項の違いを考慮すると、 $F .73$ 式は $\int d x ψ_{1}^{*} a^{†} ψ_{0} = e^{i ω t}$ 　とならないでしょうか？ -- じょせふ? 2024-08-28 $水$ 19:17:10
時間依存性も考えたらそうなります。ここでは時間依存性を見てない計算をしてます。 -- 前野? 2024-08-28 $水$ 22:02:31
ご返答ありがとうございます。11.2.2節の $11.68$ 式では時間項を考慮して古典力学的運動に対応した状態を考えていると思いますが、これと演習問題11-1において時間依存性を見ずに重ね合わせた $Ψ$ とは別物ということでしょうか？ -- じょせふ? 2024-08-29 $木$ 15:56:17
別というか、演習問題の解答の方では（そう書いておくべきでしたが）時間依存の部分を省略しているということです。 -- 前野? 2024-08-30 $金$ 10:38:53
理解いたしました。ご解答ありがとうございます。 -- じょせふ? 2024-08-30 $金$ 16:45:22

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P353　D.38式 †

picky? $2024 - 06 - 23 (日$ 11:56:05)

P353のD.38式の第4項の分子は符号を挟んで左右逆ですか？

あ、本当ですね、間違ってました。 -- 前野? 2024-06-23 $日$ 12:44:05

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p.159 <x+a|のテイラー展開について †

機械屋? $2024 - 03 - 14 (木$ 20:19:41)

7.76式までは理解できたのですが、テイラー展開との結びつきがわかりませんでした。
どこ周りでどのような導出なのでしょうか。
お手数ですがご教示よろしくお願い致します。

テイラー展開 $f (x + a) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{a^{n}}{n!} \frac{d^{n}}{d x^{n}} f (x)$ と同じ式です。 -- 前野? 2024-03-14 $木$ 23:18:50
aに関するテイラー展開でa=0周りの展開だったのですね。ありがとうございました。 -- 機械屋? 2024-03-14 $木$ 23:47:15

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式 $12.89$ について †

RJ? $2023 - 12 - 14 (木$ 02:21:36)

p.276の
右辺2行目で $L_{-} = - i ℏ e^{- i ϕ} (\frac{\partial}{\partial θ} - i \cot θ \frac{\partial}{\partial ϕ})$ …と記載されていますが、虚数iはφの微分で出てくるものの、θの微分では出てこいないので、iの係数は不要ではないでしょうか?また、1行目の頭の虚数iも不要ではないでしょうか?

確かにこの３箇所のiは不要ですね。 -- 前野? 2023-12-14 $木$ 08:40:38

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P349 †

匿名? $2023 - 04 - 19 (水$ 17:38:07)

P349のD2式2段目において、 $(A ψ)^{*}$ 部分のアスタリスクを外すと3段目のように $a (ψ^{*})$ となり、aにアスタリスクが付かないのはどうしてでしょうか？
よろしくお願いします。

D2式ではなくD22式です。訂正します。 -- 2023-04-19 $水$ 17:38:48
問題文にも書いてありますが、aは実数です。エルミートな演算子の固有値は実数になります。 -- 前野? 2023-04-20 $木$ 07:45:28
Aがエルミートであることを見落としていました。ありがとうございます。 -- 2023-04-20 $木$ 10:20:42

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波動関数 †

坊ちゃん? $2023 - 04 - 01 (土$ 10:20:23)

波動関数はハミルトニアンに対する固有関数である、という認識は間違いでしょうか？

このように認識していたため、p122の問い6-2で、Hと書かずに一般化してAと書かれた意味が分かりませんでした。ψやφが波動関数であるからAはハミルトニアンではないかと思ってしまいました。

お忙しい中恐縮ですが、ご教授願えますと幸いです。よろしくお願いいたします。

間違いです。ハミルトニアンの固有関数を使って波動関数を求めることがよくあるのでそういう勘違いをしている人がいるようですが、一般の波動関数はいろんなハミルトニアンの固有関数の重ね合わせでいいので、波動関数＝固有関数ではまったくありません。 -- 前野? 2023-04-01 $土$ 16:43:49
ご返答いただきありがとうございます。 -- 坊ちゃん? 2023-04-01 $土$ 21:20:12
ハミルトニアンの固有関数の重ね合わせで波動関数ψ、φが得られるとき、p122の問い6-2での演算子Aがハミルトニアンでないということがあり得るのでしょうか？ -- 2023-04-01 $土$ 21:25:41
Aは一般的な演算子なんですから、ハミルトニアンでないことなんていくらでもありえます。 -- 前野? 2023-04-01 $土$ 21:28:37
ここまで、質問させていただいてもうひとつ疑問が生まれました。波動関数は一つの系に対して一つに決まるものではないのでしょうか？ -- 坊ちゃん? 2023-04-01 $土$ 21:29:46
一つに決まるってどういう意味ですか？　あと「一つの系」ってのはどういう意味ですか？　ハミルトニアンが一つ決まっても波動関数はもちろんひとつには決まりません。 -- 前野? 2023-04-01 $土$ 21:43:21
「一つのハミルトニアンが与えられれば波動関数が一意的に得られる」という意味で、「波動関数が一つの系に対して一つに決まる」と言いました。期待値を求めるときには波動関数を用いるので、波動関数が複数あったら期待値も複数出てきてしまうことにはならないのでしょうか？ -- 坊ちゃん? 2023-04-01 $土$ 21:57:51
「一つのハミルトニアンが与えられれば波動関数が一意的に得られる」なんてことは全くありません。ハミルトニアンを決めただけでは系の状態は一つに決まりません。それは量子力学じゃなくて古典力学でも同じです。同様にハミルトニアンを決めたって期待値は決まりません。同じハミルトニアンを持っている系でも、いろんなエネルギー期待値はありえます。これも古典力学でも同じことです。 -- 前野? 2023-04-01 $土$ 22:37:33
理解できました。お忙しい中、丁寧に説明していただき誠にありがとうございました。 -- 坊ちゃん? 2023-04-01 $土$ 22:46:06

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p95 †

マータン? $2023 - 03 - 24 (金$ 20:22:24)

測定器が測定した時点で波動関数が収縮していたとするなら、崩壊時期はその時点で決まっているという事でしょうか。どうか宜しくお願いいたします。

「崩壊時期」って崩壊が起こった時間、という意味ですか？　それならある程度は決まったと言っていいと思います（ぴったりは確定しないでしょうけど）。 -- 前野? 2023-03-24 $金$ 21:08:02
測定器が作動した時点で波動関数は収縮して、いつ崩壊するか決まるという理解で合ってますでしょうか。どうか宜しくお願いします。 -- マータン? 2023-05-04 $木$ 11:51:39
ちょっと、どこにマータンさんの疑問があるのかがわからないのですが、測定器が作動した時点で収縮した結果は「もう崩壊している」か「まだ崩壊してないか」なので、「いつ崩壊するか」というのが未来の話を含むのなら、それは決まってません。「いつ崩壊したのか」ということならば、「崩壊してた」と観測されたならある程度の幅を持って決まった、というのは上に書いた通りです。 -- 前野? 2023-05-04 $木$ 11:57:15

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p158の 7.73の導出 †

A? $2023 - 03 - 23 (木$ 17:35:08)

7.73式は7.72式の公式を使って変形していると思うのですが、そのまま当てはめると∂/∂xではなくd/d（x-x'）がでてきてしまいその先が分かりません。どのように計算すれば良いか教えてください。よろしくお願いします。

この場合変数はｘしかないのだから偏微分と常微分の違いはありません。 -- 前野? 2023-03-23 $木$ 17:47:14
x'は変数では無いということでしょうか？公式の引数xと、x-x'を対応させるところまでは問題ありませんか？ -- A? 2023-03-23 $木$ 18:53:30
ああ、x' を心配してたのですか。今の場合、デルタ関数 $δ (x - x^{'})$ は $x - x^{'}$ の関数なので、 $\frac{\partial}{\partial x}$ という偏微分は、 $x - x^{'}$ を変数と見て $\frac{\partial}{\partial (x - x^{'})}$ と同じです。ですからそれは公式の $\frac{d}{d x} δ (x)$ の $x$ が $x - x^{'}$ に変わったものと同じです。 -- 前野? 2023-03-23 $木$ 19:00:04
納得できました。ありがとうございます！ -- A? 2023-03-23 $木$ 19:18:29

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演習問題3-1の解答について †

マータン? $2023 - 03 - 22 (水$ 13:35:20)

位相速度が光速を超えると思いますが、許される理由が分かりません。どうか宜しくお願いします。

ヒントなどに書いてあるとおり、情報伝達速度は群速度の方で、そっちが光速を超えてなければ何も問題ないです。相対論で光速を超えてはいけないというのは情報の伝達速度です。 -- 前野? 2023-03-22 $水$ 14:01:46
ありがとうございました。因みに位相速度が光速を超えるというのはどの様な解釈になりますでしょうか。 -- マータン? 2023-03-22 $水$ 14:28:59
解釈と言われても何を答えればよいのやら？　そもそも波動関数の位相にも物理的意味はないし、位相速度に物理的意味はないんです。 -- 前野? 2023-03-22 $水$ 17:19:45
波動関数の位相速度には意味が無いとの認識がありませんでした。納得出来ました。ありがとうございました。 -- マータン? 2023-03-23 $木$ 14:59:07

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$i ℏ$ が現れる理由について †

R8xt*$P!y9BC6DvP? $2023 - 01 - 29 (日$ 05:00:27)

古典力学において運動量は空間並進の生成子であり、ハミルトニアンは時間並進の生成子でしたので、それによる類推からも運動量演算子は空間微分に、ハミルトニアンは時間微分に対応すると理解できるのではないかと思います。

例えば、微小量 $ϵ$ だけ $x$ 方向に空間並進させる演算子を ${\hat{T}}_{x} (ϵ) ({\hat{T}}_{x} (ϵ) | x ⟩ = | x + ϵ ⟩)$ とすると、これを $ϵ$ の級数に展開して得られる ${\hat{T}}_{x} (ϵ) = 1 + \frac{1}{i ℏ} {\hat{p}}_{x} ϵ + \dots$ に現れる演算子 ${\hat{p}}_{x} = i ℏ \frac{\partial}{\partial x}$ （ケットベクトルに作用するときの表式）が得られると理解しています。

しかし、そもそも生成子の定義で $\frac{1}{i ℏ}$ がくくりだされていることが不自然に思えてしまいます。この係数はいったいどこから来たのでしょうか。

他にも正準量子化 ${A, B} \to \frac{1}{i ℏ} [\hat{A}, \hat{B}]$ は「古典力学におけるポアソン括弧を量子力学における交換関係に移行する」などと説明されますが、何の説明も無しに唐突に $\frac{1}{i ℏ}$ が付け加えられている印象があります。

シュレディンガー方程式も $\frac{\partial}{\partial t} | ψ ⟩ = \hat{H} | ψ ⟩$ であれば綺麗なのにと主観的には思いますが、実際には $i ℏ \frac{\partial}{\partial t} | ψ ⟩ = \hat{H} | ψ ⟩$ となっています。

もちろん数式を追っていけば運動量演算子やハミルトニアンの期待値が運動量やエネルギーに対応することはわかりますし、 $i ℏ$ が各所に現れている状態で理論が整合していることも理解できますのでそれで納得してくれと言われればそれまでなのですが、 $i ℏ$ にはどのような意味があるか気になってしまいます。

もし ${\hat{p}}_{x}^{'} := \frac{1}{i ℏ} {\hat{p}}_{x}, {\hat{H}}^{'} := \frac{1}{i ℏ} \hat{H}$ などとしておけば ${x, p_{x}^{'}} = 1 \to [\hat{x}, {\hat{p}}_{x}^{'}] = \hat{1}, \frac{\partial}{\partial t} | ψ ⟩ = {\hat{H}}^{'} | ψ ⟩$ などが成り立つので「このように書いておけば理論から $i ℏ$ を消せるけれど、古典力学で通常使われている運動量やエネルギーと対応させるために $i ℏ$ をわざわざ書く表式を採用しているのかな」とも少し考えましたが、自由粒子のハミルトニアン $\hat{H} = \frac{1}{2 m} {\hat{p}}^{2}$ がこれでは ${\hat{H}}^{'} = \frac{i ℏ}{2 m} {({\hat{p}}^{'})}^{2}$ のようになるので結局 $i ℏ$ が出現しており、この定数はこういった小手先の変更で消えるものではないもっと本質的なものなのだと感じられます。

思考を垂れ流すようなまとまりのない質問で申し訳ありませんが、コメントをいただけると大変助かります。よろしくお願いします。

すみません。ket や coloneqq などの非対応のコマンドを使ってしまいましたが、|・⟩ や := に読み替えて解釈してください。 -- R8xt*$P!y9BC6DvP? 2023-01-29 $日$ 05:02:41
まず、 $ℏ$ がないと次元が合いませんから、そんな式は不合理です。そもそも $ℏ$ （あるいは $h$ ）が導入されたのはプランクの $E = h ν$ やドブロイの $p = \frac{h}{λ}$ があって、それが実験的に正しいとわかっていたからで、根拠なしに出てきた係数ではないです。このあたりは本にもじっくり書いたつもりです。 -- 前野? 2023-01-29 $日$ 09:44:09
非対応コマンドについては修正しました。 -- 前野? 2023-01-29 $日$ 09:44:29

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問6-1 $4$ について †

イチロー? $2023 - 01 - 28 (土$ 17:04:11)

基礎的なことかと思いますが、解答の $D .20$ のテーラー展開がよく分かりません。なぜx=0として後ろにB^x-1をかけたのでしょうか。このようなテーラー展開はあまり見慣れないです。
また、問題の方だとfダッシュ $B$ が前からかけられており、解答だと後ろから掛けられていますが、それらは同じなのですか？

すみません、訂正です。x=0としてB^ $n$ を後ろからかけたのでした。 -- イチロー? 2023-01-28 $土$ 17:05:32
演算子と演算子なら順番が変わると意味が違いますが、演算子と数なので順番はどっちでも同じです。 -- 前野? 2023-01-28 $土$ 18:22:51
f' $B$ も［A,B］も演算子だと思っていたのですが、違うのですか？　あと、上に書いたテーラー展開についても解説していただいてよろしいでしょうか。 -- イチロー? 2023-01-29 $日$ 12:35:08
$f (\hat{B})$ は演算子ですが、それを展開して $a_{0} + a_{1} \hat{B} + a_{2} (\hat{B})^{2} + \dots$ のようにしたときの $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \dots$ に対応する部分が $\frac{1}{n!} \frac{d^{n} f (x)}{d x^{n}} |_{x = 0}$ です。こちらは数です。 -- 前野? 2023-01-29 $日$ 13:06:07
これは普通のテイラー展開とやっていることは一緒です。 $f (\hat{B})$ を $f (x) = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + \dots$ に $x = \hat{B}$ を代入したものだと考えます。 $a_{n}$ を求めたければどうするか？といえば、「両辺を $n$ 階微分したあとで $x = 0$ とおいて両辺を比較する」という操作をします（これがそもそものテイラー展開の定義みたいなもの）。 -- 前野? 2023-01-29 $日$ 13:09:11
$n$ 階微分することで右辺は $n! a_{n} + (n + 1)! a_{n + 1} x + \dots$ となりますが、 $x = 0$ にすれば最初の項以外は消えます。 -- 前野? 2023-01-29 $日$ 13:10:44
お返事ありがとうございます。D-20式に関しては納得できました。まだD-21式がよくわかりません。1月29日の前野先生の一個目の返信についてです。確かにa0,a1...に対応する部分は数だと思います。でもBハット^n-1は演算子ですよね？だったら後ろfダッシュ $B ハット$ は演算子となり、前から掛かるか後ろから掛かるかで変わるんじゃないのですか？ -- イチロー? 2023-02-01 $水$ 22:27:19
訂正:だったら、fダッシュ（Bハット）は演算子となり、前から掛かるか後ろから掛かるかで変わるのではありませんか？ -- イチロー? 2023-02-01 $水$ 22:29:22
問題の設定として「 $[\hat{A}, \hat{B}]$ が $\hat{B}$ と交換する場合」を考えているので、 $D .21$ でも順番は関係ありません。こうでない場合は、大変複雑になります。 -- 前野? 2023-02-01 $水$ 23:15:20

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p89 波動関数の絶対値の2乗にはちゃんと物理的意味がある　について †

こめお? $2023 - 01 - 28 (土$ 12:13:53)

p89の下から9行目から11行目で、粒子1個の場合でも波動関数の絶対値の2乗には物理的意味がある証拠として、「実際なら1個の粒子を見つけようとすると、どこか一点に見つかる」とありますが、なぜこれがその証拠となるのか、理解できません。
お忙しいところ恐縮ですが、解説お願いいたします。

その次の文章の「そして〜」以下まで含めて「物理的意味がある」と読んでください。「たくさん粒子がある場合の密度を表しているのだ（よって粒子が一個のときは意味がない）」という考えに対する反対として「１個の粒子であってもその粒子が見つかる確率を表しているんだから意味はちゃんとある」と反論してます。 -- 前野? 2023-01-28 $土$ 18:26:30
納得できました。お忙しいところありがとうございました。 -- こめお? 2023-01-29 $日$ 12:39:40

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p99 波の向きについて †

クリロナ? $2022 - 12 - 21 (水$ 17:38:30)

p99の波動関数が複素数で表されるとなぜ波の向きが分かるのか、理解できません。p99の下の真ん中の図は、t=0のときexp $- i k x$ となる波動関数の話をしているのですよね？その場合、なぜ矢印の向きに波が進んでると言えるのでしょうか？

時間発展の方はexp $- i ω t$ になるので、掛算するとexp $- i (ω t + k x$ )になります。この式を見て「位相が同じ値を取る場所は、tが増えるとxが減る」ということを読み取ると「時間が立つとｘが負の方向に進む」と判断できます。exp $i k x$ の方はexp $- i (ω t - k x$ )になるのでｘの正の方向に進むと判断できます。 -- 前野? 2022-12-21 $水$ 18:16:04
要は、 $x - v t$ の形にx,tが入っているとその波は正の方向に進み、 $x + v t$ の形にx,tが入っているとその波は負の方向に進むということです。exp $\pm i k x$ の部分だけでなく、後ろにexp $- i ω t$ もあるということを見て判断してください。 -- 前野? 2022-12-21 $水$ 18:17:31
よく分かりました。ありがとうございました！ -- クリロナ? 2022-12-21 $水$ 18:31:05

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一次元調和振動子の級数展開による解法について †

R8xt*$P!y9BC6DvP? $2022 - 12 - 06 (火$ 22:55:54)

級数展開による解法で用いた仮定（解は $Ψ (ξ) = H (ξ) e^{- ξ^{2} / 2}$ の形で書かれるだろう、 $H (ξ)$ は整級数で書かれるだろう、など）は、その仮定に至る経緯はある程度説明されています（その説明はとても助かります）が、結局のところはそう仮定したら要件を満たす解の列 ${H_{n} (ξ)}_{n \geq 0}$ が得られて、それが直交完全性を成すからこの仮定でよかったのだろう、という話に尽きると割り切って考えても大丈夫でしょうか。

直交完全（規格化すればさらに正規）性がほしいのは ${H_{n} (ξ)}$ ではなく波動関数の列 ${ψ_{n} (ξ)}$ のほうでした（エルミート多項式自体も同様の条件を満たしますが）。 -- R8xt*$P!y9BC6DvP? 2022-12-06 $火$ 22:59:29
すいません、気づくのが遅くて返事遅れました。直交性を満たすのはやってみたらそうだったというよりは、エルミートな演算子の固有値が違えばその関数は直交するということは前もって知っているので、最初からの目論見どおり、という感じです。 -- 前野? 2022-12-09 $金$ 23:16:56
いえいえ、お忙しい中質問にご回答くださいまして大変ありがたいです（といいつつ恐縮ですが、一つ下の質問にも答えていただければ幸いに存じます）。直交性が出てくるのはエルミート演算子の性質から明らかなことで、規格化条件については係数を調節すればいいだけなので問題にはならず、さらに（固有値・固有関数を求める演算子が現実に観測できる量に対応するものであれば）出てくる固有関数系は完全系となるので、いつでも正規直交完全系が得られますね。ありがとうございます。 -- R8xt*$P!y9BC6DvP? 2022-12-14 $水$ 00:41:21

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古典系のハミルトニアンから量子系のハミルトニアンを与えることについて †

R8xt*$P!y9BC6DvP? $2022 - 12 - 06 (火$ 22:24:42)

解析力学において、最も分かりやすく $?$ $L = K - U$ と置いたラグランジアンをルジャンドル変換して得られるハミルトニアン $H = K + U$ はたまたま $?$ 系の力学的エネルギーを表しますが、「よくわかる解析力学」にも書かれているとおり、一般的にはハミルトニアンは系のエネルギーと一致しないのですよね。
一般的なハミルトニアン $H (q, p)$ を $\hat{H} (\hat{q}, \hat{p})$ に移行することでも「普通の」ハミルトニアンと同様な量子力学の議論は可能なのでしょうか。また、正準交換関係はデカルト座標とそれに共役な運動量に限らず一般の正準変数の組に対しても成り立つのでしょうか。
よろしくお願いいたします。

すいませんもう一つ見落としてました。デカルト座標でない場合にうまくいかない事があるということh、本にも書いてあります。 -- 前野? 2022-12-14 $水$ 01:32:11
例えば259ページの議論。 -- 前野? 2022-12-14 $水$ 01:34:34
例えば259ページの議論。 -- 前野? 2022-12-14 $水$ 13:36:17

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軽微な誤記 †

R8xt*$P!y9BC6DvP? $2022 - 12 - 03 (土$ 13:06:02)

p.342 の問い 11-4 のヒントの中で $d$ が $δ$ に置き換わってしまっているとっころがあります。

すいません、たしかに間違ってますね（なんでこんなミスをしたのだろう？）。ご指摘ありがとうございます。 -- 前野? 2022-12-06 $火$ 18:57:22

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軽微な誤記 †

R8xt*$P!y9BC6DvP? $2022 - 11 - 17 (木$ 15:18:57)

p.183 の脚注の前の最後の一行に $\frac{d ψ}{d ψ}$ とありますが、この部分は $\frac{d ψ}{d x}$ だと思われます。

間違ってますね。御指摘ありがとうございます。 -- 前野? 2022-11-17 $木$ 17:34:09

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運動量演算子の導出 †

R8xt*$P!y9BC6DvP? $2022 - 11 - 05 (土$ 16:56:58)

p.159 の補足について、前ページに記載の $⟨ x | \hat{p} = - i ℏ \frac{\partial}{\partial x} ⟨ x |$ という関係は $[\hat{x}, \hat{p}] = i ℏ$ および状態ベクトルや演算子の定義のみから導かれ、それを用いて補足内で書かれているように式変形を行えば運動量の期待値を与える演算子が $- i ℏ \frac{\partial}{\partial x}$ と表されることが（波動関数の具体的な形を知らずとも）分かりますから、p.82 で（天下り的に波動関数の形を与えることで）行っていた $p \to - i ℏ \frac{\partial}{\partial x}$ の置き換えはより根源的な原理である正準交換関係から導かれるものだった（したがって、説明のために必要だったけれども原理的に言えば波動関数を指数関数の形で書かれることを仮定して運動量演算子がこうなることを説明する必要は無かった）と考えてよいでしょうか？

また、p.158 の $7.71$ の第 3 式を両辺をそのまま $7.72$ の関係を使って変形したのは、変数 $x^{'}$ が $δ (x - x^{'})$ という形で一箇所だけ出てくるようにしたい（そうすれば左辺の $⟨ x | x^{'} ⟩ = δ (x - x^{'})$ と同じ形が作れる）ために行った、ただの数学的な技巧だと割り切って考えて大丈夫でしょうか？ -- R8xt*$P!y9BC6DvP? 2022-11-05 $土$ 17:05:26
日本語が不自然でした。上記のコメント中の「両辺を『そのまま』〜」の「そのまま」は不要です。 -- R8xt*$P!y9BC6DvP? 2022-11-05 $土$ 17:06:52
物理で何を定義にして、何を「定義から導かれるもの」と考えるかを選ぶ自由度は常になるので、「正準交換関係から」と考えても別にいいです。その場合は「正準交換関係を満たす $\hat{p}$ という演算子は、運動量を表す」ことをなにか他の論点から持ってくる必要があります。波動関数の形と実験的に知られる $p = \frac{h}{λ}$ をよりどころとしないのならば。 -- 前野? 2022-11-06 $日$ 21:58:07
２つ目の質問。 $7.72$ を使ったのは $\hat{p}$ という演算子が $⟨ x |$ と $| x^{'} ⟩$ の間にはさまったときに何が起こるかを見たかったので、左辺を $⟨ x | \hat{p} | x^{'} ⟩$ の形にしたかったということです。その結果として $x^{'}$ がδ関数の中だけになったというのはその通りですね。 -- 前野? 2022-11-06 $日$ 22:03:33
ありがとうございます。 -- R8xt*$P!y9BC6DvP? 2022-11-07 $月$ 08:50:11

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記法について †

R8xt*$P!y9BC6DvP? $2022 - 11 - 01 (火$ 13:55:29)

p.132 の式 6.36 は演算子を表すハットを省略せずに書くと

$[\hat{x}, \hat{H} (\hat{x}, \hat{p})] = \frac{\partial \hat{H}}{\partial \hat{p}} [\hat{x}, \hat{p}] = i ℏ \frac{\partial \hat{H}}{\partial \hat{p}}$

となりますか？

はいそうです。 -- 前野? 2022-11-02 $水$ 16:17:16
ありがとうございます。 -- R8xt*$P!y9BC6DvP? 2022-11-03 $木$ 07:09:29

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ブラ・ケットと線形代数における複素ベクトル空間の標準内積について †

昔の物理学生? $2022 - 10 - 24 (月$ 10:19:06)

P148のブラとケットの内積の定義 $7.34$ と線形代数における複素ベクトル空間の標準内積の定義を比較すると異なっています。
複素ベクトル空間の標準内積では、
a,bをベクトル
ai,biをベクトルa,bの成分
とすると、
a・b=Σaibi*のようにベクトルbの成分が共役複素数になっています。
（参考：大学教養線形代数、加藤文元、P243、テキスト線形代数、小寺平治、P124、など）
これは、ブラケットは、線形代数における複素ベクトル空間の標準内積とは異なる概念である、ということを意味するのでしょうか。
それとも、ブラケットは、内積とは異なる何かの要素を持っているということなのでしょうか。

左右のどっちを複素共役にするかは、単に「流儀」の問題で、本質的じゃありません。 -- 前野? 2022-10-25 $火$ 08:38:05
物理の教科書では左に＊がつく場合がほとんどです。どっちの流儀を採用しているかに気をつけておけばよくて、本質的な概念の違いはありません。 -- 前野? 2022-10-25 $火$ 08:42:48
なるほど！「流儀」の問題ということならば納得です。有難うございました！ -- 昔の物理学生? 2022-10-25 $火$ 08:49:32

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物質波の捉え方 †

大学生? $2022 - 10 - 11 (火$ 16:48:03)

いま、第 3 章までを読み終わりました（以下の質問が、本書のこれ以降の内容を読み進めていけば明らかになることでしたらすみません）。

まさに「概念の壁」に阻まれている状態で、物質波が何なのか分かっていません。以下のような考えを抱いてしまっていますが、これは正しくないと自分でも分かります。アドバイスを頂けたら幸いです。

1. 技術の進歩によってミクロな現象を観察できるようになったところ、古典力学では説明できない現象がたくさん確認された。実験結果を整理すると、どうやら架空の「波動」を考えるとうまく説明できるようだ。

2. この「波動」は直接に観測できる物理量ではないが、（例えば電磁気学でも直接に観測できる量ではない電場というものの存在を信じて $\vec{E} (\vec{x}, t)$ なるものを導入して議論をしていくように）空間中に波が存在することを空想することにする（ただし電場は試験電荷 $e$ に働くクーロン力 $\vec{F} = e \vec{E}$ を測定すればその値を調べられるのに対し、この複素数の「波」は実験を行ってもその絶対値の情報しか得られないという点において電場とは本質的に異なる）。

3. 自由粒子を考えると、この粒子は古典的には等速直線運動をする。これはレーザー光が直進する（ただし遠くのスクリーンにレーザーポインターを向けると分かるようにこの光は完璧に直進するわけではなく若干ぼやける）のと同じように、実空間で $Δ x$ の幅（≒ 粒子の広がり/大きさ）の中にある各点が波源となって一斉に球面波を出すと位相が停留する部分のみが残って平面波のように波が進行するからである。この平面波の波数が粒子の速度に対応している。ただし、レーザーポインターの光のように粒子に対応する波束も拡散していく。（しかし、p.20 の図を見るとレーザー光は単色波であっても絶対にわずかには拡散してしまうように見えますが、p.60 の図を見ると粒子に対応する波束が崩れていくのは複数の位相速度の異なる単色波が重なり合うために起きる現象だと考えられるので解釈に齟齬があります。）

4. 自由粒子ではなく一般にポテンシャルの勾配がある場合も考えると、物質波にとってのポテンシャルは電磁波にとっての媒質の屈折率のようなもので、ポテンシャルによって物質波が屈折させられる現象が起きる。粒子の速度が変わる現象はこのことにより説明される。

思考が電磁波の例に引き摺られすぎていていて正しくない考えに陥っているのでしょうか。正しい方向を示して頂けると幸いです。

１．２．についてはその考えでよいです。３．については、「レーザー光単色波であっても絶対にわずかには拡散してしまうように見えます」というのは「見えます」ではなく、本当にそうです（拡散します）。レーザーだから拡散しないということはありません（遠くにいけば拡散します）。つまりは程度の問題です。 -- 前野? 2022-10-12 $水$ 12:17:06
粒子に対応する波束が拡散していく、というのはそのとおりです。現実においてそうでないように見えるのは、４．で述べていくポテンシャルの勾配によって閉じ込められているので拡散しきらないという場合もあるし、後で出てくる「波動関数の収縮」により収縮することがあるからだとも言えます。 -- 前野? 2022-10-12 $水$ 12:19:52

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pp.18-19 に対応する物理的な状況について †

R8xt*$P!y9BC6DvP? $2022 - 10 - 05 (水$ 13:13:02)

p.18 にて「平面波としてやってきたので、AB 上では位相が揃ってい」た波が、p.19 では注釈 2 で説明されているように「3 次元の球面波の特徴」を用いて扱われています。ここから線分 AB 上の各点からそれぞれ球面波が出ている状況を想像しました。これに関して 4 点質問があります。

1. この状況は太陽のような（といっても太陽光は単色ではないので太陽を巨大な単色の光源に置き換えて考えるものとします）遠くの光源からやってくる光を狭いスリットに通したときなどに実現すると考えてよいでしょうか。

2. 小さい箱の中に光っている電球（同様に単色の光を出すと考えます）を入れ、箱にスリットを開けたときにこの状況は実現しますか？

太陽光は球面波ですが、十分離れたところから発せられるために地上に届く際には平面波と近似できるので 1. は成り立つと思います。しかし同じく球面波を出す小さい箱の中の電球と箱に開けられたスリットは十分離れているとは言えないため 2. は成り立たないと考えています。

3. ビーム状のレーザー光は（その断面にあたる狭い範囲の中では）平面波だと考えられますが、ここで行っている考察はそのようなレーザー光が直進性を持つことの説明にもなっていますか？

具体例を 3 つ挙げましたが、要するにこの状況がどのような場合に実現するのかがよく分かっていないということです。このような状況は日常的に頻繁に実現することなのでしょうか？

また、積分すると「真ん中だけが効く」ことは直感的には分かりますがうまく証明できていません。直感的に数式を処理していると間違えることもあるので論理的に説明を与えたいと考えているのですが、どのようにすればよいでしょうか（積分の結果は初等関数では表せないような気がしますが……）。

よろしくお願いいたします。

１．の状況で考えていいですが、２．の状況でもほぼ同様です（３．でも）．というのは光の波長は数百ナノメートルと短いので、目でみて「細いスリット」「細いレーザー」と思っても光の波長に比べれば十分に長い（幅の間に光の波長が無数に入る）からです。波長の短さのおかげで、わりとかんたんに実現する状況になってます。 -- 前野? 2022-10-07 $金$ 07:03:09
真ん中だけが効くことは、真面目に積分するのは大変なので、「真ん中以外は消し合う」ことを理解してくれれば十分です。 -- 前野? 2022-10-07 $金$ 07:03:50

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V0の値 †

独学者? $2022 - 08 - 30 (火$ 11:58:25)

第10章の最後の方のデルタ関数による反射の議論で少し気になったのですが、このようなモデル化をした場合、Voの値はどれくらいのオーダーと考えれば良いのでしょうか。ke^2くらいでしょうか。よろしくお願いします

どういうモデルを考えているかで違う話なので、考えているモデルに合うように決めればいいです。ここでやっているのは１次元なので、実際の物理というよりは練習問題のためのモデルです。３次元のクーロンの法則とは話がだいぶ違います。 -- 前野? 2022-09-02 $金$ 08:21:23

これより古いものは以下に移動しました。

「よくわかる量子力学」サポート掲示板２ のバックアップNo.120

「よくわかる量子力学」（東京図書）サポート掲示板 †

p190の運動エネルギーについて †

12.73式から12.74式へ †

形式的証明としては？ †

P269の一文について †

規格？正規？ †

（6.19）式 †

交換関係の中に残す？ †

dx †

束縛と散乱 †

演習問題2-4 ヒント・解答についてのご質問 †

演習問題11-1 解答 F.73式について †

P353 D.38式 †

p.159 <x+a|のテイラー展開について †

式12.89について †

P349 †

波動関数 †

p95 †

p158の 7.73の導出 †

演習問題3-1の解答について †

iℏ が現れる理由について †

問6-1 4について †

p89 波動関数の絶対値の2乗にはちゃんと物理的意味がある について †

p99 波の向きについて †

一次元調和振動子の級数展開による解法について †

古典系のハミルトニアンから量子系のハミルトニアンを与えることについて †

軽微な誤記 †

軽微な誤記 †

運動量演算子の導出 †

記法について †

ブラ・ケットと線形代数における複素ベクトル空間の標準内積について †

物質波の捉え方 †

pp.18-19 に対応する物理的な状況について †

V0の値 †

「よくわかる量子力学」サポート掲示板２のバックアップ $N o .120$

$12.73$ 式から $12.74$ 式へ †

演習問題2-4　ヒント・解答についてのご質問 †

演習問題11-1 解答　 $F .73$ 式について †

P353　D.38式 †

式 $12.89$ について †

$i ℏ$ が現れる理由について †

問6-1 $4$ について †

p89 波動関数の絶対値の2乗にはちゃんと物理的意味がある　について †