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井上 恭輔? (2024-09-20 (金) 11:02:33)
「よくわかる量子力学」ページ197に「束縛状態とは、名前のとおり、粒子がポテンシャルに束縛されて「遠く」に行けない状態である。波動関数$\psi(x)$が$x\to\pm\infty$で$0$になるような場合と考えてもよい。」とあります。これをそのまま受け取ると（自由粒子問題での）ガウス波束の定める状態は束縛状態であることになってしまいます。
ℏ? (2024-09-07 (土) 20:55:46)
p2wにある(E.2)式で、x=1/r とおいた時に(±の添え字省略)、なぜ積分範囲のr は 1/x ではなく x が正しいのですか？
また、 x=1/r としたときに、p13wにある(F.13)式の最後の等号はなぜ成立するのですか?
よろしくお願いします。
じょせふ? (2024-08-28 (水) 18:50:26)
演習問題11-1の解答において、\(\psi_0\),\(\psi_1\)の時間項を考慮すると、(F.73)式は\(\int dx\psi_1^*a^\dagger\psi_0=e^{i\omega t}\) とならないでしょうか？
picky? (2024-06-23 (日) 11:56:05)
P353のD.38式の第4項の分子は符号を挟んで左右逆ですか？
機械屋? (2024-03-14 (木) 20:19:41)
7.76式までは理解できたのですが、テイラー展開との結びつきがわかりませんでした。
どこ周りでどのような導出なのでしょうか。
お手数ですがご教示よろしくお願い致します。
RJ? (2023-12-14 (木) 02:21:36)
p.276の
右辺2行目で $L_{-} = -i\hbar e^{- i\phi} \left( {\partial \over\partial \theta} - i \cot \theta {\partial\over \partial \phi}\right)$…と記載されていますが、虚数iはφの微分で出てくるものの、θの微分では出てこいないので、iの係数は不要ではないでしょうか?また、1行目の頭の虚数iも不要ではないでしょうか?
匿名? (2023-04-19 (水) 17:38:07)
P349のD2式2段目において、$(A\psi)^*$部分のアスタリスクを外すと3段目のように$a(\psi^*)$となり、aにアスタリスクが付かないのはどうしてでしょうか？
よろしくお願いします。
坊ちゃん? (2023-04-01 (土) 10:20:23)
波動関数はハミルトニアンに対する固有関数である、という認識は間違いでしょうか？
このように認識していたため、p122の問い6-2で、Hと書かずに一般化してAと書かれた意味が分かりませんでした。ψやφが波動関数であるからAはハミルトニアンではないかと思ってしまいました。
お忙しい中恐縮ですが、ご教授願えますと幸いです。よろしくお願いいたします。
マータン? (2023-03-24 (金) 20:22:24)
測定器が測定した時点で波動関数が収縮していたとするなら、崩壊時期はその時点で決まっているという事でしょうか。どうか宜しくお願いいたします。
A? (2023-03-23 (木) 17:35:08)
7.73式は7.72式の公式を使って変形していると思うのですが、そのまま当てはめると∂/∂xではなくd/d（x-x'）がでてきてしまいその先が分かりません。どのように計算すれば良いか教えてください。よろしくお願いします。
マータン? (2023-03-22 (水) 13:35:20)
位相速度が光速を超えると思いますが、許される理由が分かりません。どうか宜しくお願いします。
R8xt*$P!y9BC6DvP? (2023-01-29 (日) 05:00:27)
古典力学において運動量は空間並進の生成子であり、ハミルトニアンは時間並進の生成子でしたので、それによる類推からも運動量演算子は空間微分に、ハミルトニアンは時間微分に対応すると理解できるのではないかと思います。
例えば、微小量 $\epsilon$ だけ $x$ 方向に空間並進させる演算子を $\hat{T}_x(\epsilon) \ \left( \hat{T}_x(\epsilon) \ket{x} = \ket{x+\epsilon} \right)$ とすると、これを $\epsilon$ の級数に展開して得られる $\hat{T}_x(\epsilon) = 1 + \frac{1}{\mathrm{i}\hbar} \hat{p}_x \epsilon + \cdots$ に現れる演算子 $\hat{p}_x = \mathrm{i}\hbar \frac{\partial}{\partial x}$（ケットベクトルに作用するときの表式）が得られると理解しています。
しかし、そもそも生成子の定義で $\frac{1}{\mathrm{i}\hbar}$ がくくりだされていることが不自然に思えてしまいます。この係数はいったいどこから来たのでしょうか。
他にも正準量子化 $\left\{ A, B \right\} \to \frac{1}{\mathrm{i}\hbar} \left[ \hat{A}, \hat{B} \right]$ は「古典力学におけるポアソン括弧を量子力学における交換関係に移行する」などと説明されますが、何の説明も無しに唐突に $\frac{1}{\mathrm{i}\hbar}$ が付け加えられている印象があります。
シュレディンガー方程式も $\frac{\partial}{\partial t} \ket{\psi} = \hat{H} \ket{\psi}$ であれば綺麗なのにと主観的には思いますが、実際には $\mathrm{i}\hbar \frac{\partial}{\partial t} \ket{\psi} = \hat{H} \ket{\psi}$ となっています。
もちろん数式を追っていけば運動量演算子やハミルトニアンの期待値が運動量やエネルギーに対応することはわかりますし、$\mathrm{i}\hbar$ が各所に現れている状態で理論が整合していることも理解できますのでそれで納得してくれと言われればそれまでなのですが、$\mathrm{i}\hbar$ にはどのような意味があるか気になってしまいます。
もし $\hat{p}'_x \coloneqq \frac{1}{\mathrm{i}\hbar} \hat{p}_x, \hat{H}' \coloneqq \frac{1}{\mathrm{i}\hbar} \hat{H}$ などとしておけば $\left\{ x, p'_x \right\} = 1 \to \left[ \hat{x}, \hat{p}'_x \right] = \hat{1}, \frac{\partial}{\partial t} \ket{\psi} = \hat{H}' \ket{\psi}$ などが成り立つので「このように書いておけば理論から $\mathrm{i}\hbar$ を消せるけれど、古典力学で通常使われている運動量やエネルギーと対応させるために $\mathrm{i}\hbar$ をわざわざ書く表式を採用しているのかな」とも少し考えましたが、自由粒子のハミルトニアン $\hat{H} = \frac{1}{2m} \hat{p}^2$ がこれでは $\hat{H}' = \frac{\mathrm{i}\hbar}{2m} \left(\hat{p}'\right)^2$ のようになるので結局 $\mathrm{i}\hbar$ が出現しており、この定数はこういった小手先の変更で消えるものではないもっと本質的なものなのだと感じられます。
思考を垂れ流すようなまとまりのない質問で申し訳ありませんが、コメントをいただけると大変助かります。よろしくお願いします。
イチロー? (2023-01-28 (土) 17:04:11)
基礎的なことかと思いますが、解答の(D.20)のテーラー展開がよく分かりません。なぜx=0として後ろにB^x-1をかけたのでしょうか。このようなテーラー展開はあまり見慣れないです。
また、問題の方だとfダッシュ(B)が前からかけられており、解答だと後ろから掛けられていますが、それらは同じなのですか？
こめお? (2023-01-28 (土) 12:13:53)
p89の下から9行目から11行目で、粒子1個の場合でも波動関数の絶対値の2乗には物理的意味がある証拠として、「実際なら1個の粒子を見つけようとすると、どこか一点に見つかる」とありますが、なぜこれがその証拠となるのか、理解できません。
お忙しいところ恐縮ですが、解説お願いいたします。
クリロナ? (2022-12-21 (水) 17:38:30)
p99の波動関数が複素数で表されるとなぜ波の向きが分かるのか、理解できません。p99の下の真ん中の図は、t=0のときexp(-ikx)となる波動関数の話をしているのですよね？その場合、なぜ矢印の向きに波が進んでると言えるのでしょうか？
R8xt*$P!y9BC6DvP? (2022-12-06 (火) 22:55:54)
級数展開による解法で用いた仮定（解は $\Psi(\xi) = H(\xi) \, \mathrm{e}^{-\xi^2/2}$ の形で書かれるだろう、$H(\xi)$ は整級数で書かれるだろう、など）は、その仮定に至る経緯はある程度説明されています（その説明はとても助かります）が、結局のところはそう仮定したら要件を満たす解の列 $\left\{ H_n(\xi) \right\}_{n \ge 0}$ が得られて、それが直交完全性を成すからこの仮定でよかったのだろう、という話に尽きると割り切って考えても大丈夫でしょうか。
R8xt*$P!y9BC6DvP? (2022-12-06 (火) 22:24:42)
解析力学において、最も分かりやすく(?) $L = K - U$ と置いたラグランジアンをルジャンドル変換して得られるハミルトニアン $H = K + U$ はたまたま(?)系の力学的エネルギーを表しますが、「よくわかる解析力学」にも書かれているとおり、一般的にはハミルトニアンは系のエネルギーと一致しないのですよね。
一般的なハミルトニアン $H(q, p)$ を $\hat{H}(\hat{q}, \hat{p})$ に移行することでも「普通の」ハミルトニアンと同様な量子力学の議論は可能なのでしょうか。また、正準交換関係はデカルト座標とそれに共役な運動量に限らず一般の正準変数の組に対しても成り立つのでしょうか。
よろしくお願いいたします。
R8xt*$P!y9BC6DvP? (2022-12-03 (土) 13:06:02)
p.342 の問い 11-4 のヒントの中で $\mathrm{d}$ が $\delta$ に置き換わってしまっているとっころがあります。
R8xt*$P!y9BC6DvP? (2022-11-17 (木) 15:18:57)
p.183 の脚注の前の最後の一行に $\frac{\mathrm d \psi}{\mathrm d \psi}$ とありますが、この部分は $\frac{\mathrm d \psi}{\mathrm d x}$ だと思われます。
R8xt*$P!y9BC6DvP? (2022-11-05 (土) 16:56:58)
p.159 の補足について、前ページに記載の $\left\langle x \right| \hat p = -\mathrm i \hbar \frac{\partial}{\partial x} \left\langle x \right|$ という関係は $\left[\hat x, \hat p\right] = \mathrm i \hbar$ および状態ベクトルや演算子の定義のみから導かれ、それを用いて補足内で書かれているように式変形を行えば運動量の期待値を与える演算子が $-\mathrm i \hbar \frac{\partial}{\partial x}$ と表されることが（波動関数の具体的な形を知らずとも）分かりますから、p.82 で（天下り的に波動関数の形を与えることで）行っていた $p \to -\mathrm i \hbar \frac{\partial}{\partial x}$ の置き換えはより根源的な原理である正準交換関係から導かれるものだった（したがって、説明のために必要だったけれども原理的に言えば波動関数を指数関数の形で書かれることを仮定して運動量演算子がこうなることを説明する必要は無かった）と考えてよいでしょうか？
R8xt*$P!y9BC6DvP? (2022-11-01 (火) 13:55:29)
p.132 の式 6.36 は演算子を表すハットを省略せずに書くと
$$ \left[ \hat x, \hat H \left( \hat x, \hat p \right) \right] = \frac{\partial \hat H}{\partial \hat p} \left[ \hat x, \hat p \right] = \mathrm{i} \hbar \, \frac{\partial \hat H}{\partial \hat p} $$
となりますか？
昔の物理学生? (2022-10-24 (月) 10:19:06)
P148のブラとケットの内積の定義(7.34)と線形代数における複素ベクトル空間の標準内積の定義を比較すると異なっています。
複素ベクトル空間の標準内積では、
a,bをベクトル
ai,biをベクトルa,bの成分
とすると、
a・b=Σaibi*のようにベクトルbの成分が共役複素数になっています。
（参考：大学教養線形代数、加藤文元、P243、テキスト線形代数、小寺平治、P124、など）
これは、ブラケットは、線形代数における複素ベクトル空間の標準内積とは異なる概念である、ということを意味するのでしょうか。
それとも、ブラケットは、内積とは異なる何かの要素を持っているということなのでしょうか。
大学生? (2022-10-11 (火) 16:48:03)
いま、第 3 章までを読み終わりました（以下の質問が、本書のこれ以降の内容を読み進めていけば明らかになることでしたらすみません）。
まさに「概念の壁」に阻まれている状態で、物質波が何なのか分かっていません。以下のような考えを抱いてしまっていますが、これは正しくないと自分でも分かります。アドバイスを頂けたら幸いです。
1. 技術の進歩によってミクロな現象を観察できるようになったところ、古典力学では説明できない現象がたくさん確認された。実験結果を整理すると、どうやら架空の「波動」を考えるとうまく説明できるようだ。
2. この「波動」は直接に観測できる物理量ではないが、（例えば電磁気学でも直接に観測できる量ではない電場というものの存在を信じて $\vec{E}(\vec{x}, t)$ なるものを導入して議論をしていくように）空間中に波が存在することを空想することにする（ただし電場は試験電荷 $e$ に働くクーロン力 $\vec{F} = e \vec{E}$ を測定すればその値を調べられるのに対し、この複素数の「波」は実験を行ってもその絶対値の情報しか得られないという点において電場とは本質的に異なる）。
3. 自由粒子を考えると、この粒子は古典的には等速直線運動をする。これはレーザー光が直進する（ただし遠くのスクリーンにレーザーポインターを向けると分かるようにこの光は完璧に直進するわけではなく若干ぼやける）のと同じように、実空間で $\Delta x$ の幅（≒ 粒子の広がり/大きさ）の中にある各点が波源となって一斉に球面波を出すと位相が停留する部分のみが残って平面波のように波が進行するからである。この平面波の波数が粒子の速度に対応している。ただし、レーザーポインターの光のように粒子に対応する波束も拡散していく。（しかし、p.20 の図を見るとレーザー光は単色波であっても絶対にわずかには拡散してしまうように見えますが、p.60 の図を見ると粒子に対応する波束が崩れていくのは複数の位相速度の異なる単色波が重なり合うために起きる現象だと考えられるので解釈に齟齬があります。）
4. 自由粒子ではなく一般にポテンシャルの勾配がある場合も考えると、物質波にとってのポテンシャルは電磁波にとっての媒質の屈折率のようなもので、ポテンシャルによって物質波が屈折させられる現象が起きる。粒子の速度が変わる現象はこのことにより説明される。
思考が電磁波の例に引き摺られすぎていていて正しくない考えに陥っているのでしょうか。正しい方向を示して頂けると幸いです。
R8xt*$P!y9BC6DvP? (2022-10-05 (水) 13:13:02)
p.18 にて「平面波としてやってきたので、AB 上では位相が揃ってい」た波が、p.19 では注釈 2 で説明されているように「3 次元の球面波の特徴」を用いて扱われています。ここから線分 AB 上の各点からそれぞれ球面波が出ている状況を想像しました。これに関して 4 点質問があります。
1. この状況は太陽のような（といっても太陽光は単色ではないので太陽を巨大な単色の光源に置き換えて考えるものとします）遠くの光源からやってくる光を狭いスリットに通したときなどに実現すると考えてよいでしょうか。
2. 小さい箱の中に光っている電球（同様に単色の光を出すと考えます）を入れ、箱にスリットを開けたときにこの状況は実現しますか？
太陽光は球面波ですが、十分離れたところから発せられるために地上に届く際には平面波と近似できるので 1. は成り立つと思います。しかし同じく球面波を出す小さい箱の中の電球と箱に開けられたスリットは十分離れているとは言えないため 2. は成り立たないと考えています。
3. ビーム状のレーザー光は（その断面にあたる狭い範囲の中では）平面波だと考えられますが、ここで行っている考察はそのようなレーザー光が直進性を持つことの説明にもなっていますか？
具体例を 3 つ挙げましたが、要するにこの状況がどのような場合に実現するのかがよく分かっていないということです。このような状況は日常的に頻繁に実現することなのでしょうか？
また、積分すると「真ん中だけが効く」ことは直感的には分かりますがうまく証明できていません。直感的に数式を処理していると間違えることもあるので論理的に説明を与えたいと考えているのですが、どのようにすればよいでしょうか（積分の結果は初等関数では表せないような気がしますが……）。
よろしくお願いいたします。
独学者? (2022-08-30 (火) 11:58:25)
第10章の最後の方のデルタ関数による反射の議論で少し気になったのですが、このようなモデル化をした場合、Voの値はどれくらいのオーダーと考えれば良いのでしょうか。ke^2くらいでしょうか。よろしくお願いします
