「よくわかる量子力学」サポート掲示板２
光電効果 †
年末? (2019-12-30 (月) 16:30:57)
光電効果についてです。光を強く(光の振幅を大きくする)するのではなく、例えば照射する光の数を３つに増やしたら、同じ振動数の光なら電子に与えるエネルギーが3hνとなって、光が1つの時は光電効果が起きなくても、3hνが仕事関数よりも大きいとしたら、光の数(光源の数)を増やすことで電子が飛び出すのではないかと思うのですがどうでしょうか？
- もちろんそういう事が起ればそうなりますが、光子が複数個、一つの電子に当たる確率は無視して良いほど、非常に低いです。 -- 前野?
- スッキリしました。ありがとうございます！ -- 年末?
球面調和関数の説明 †
おかあちん? (2019-11-06 (水) 19:36:42)
前野様、
2017年5月10日発行の「よくわかる量子力学」を読んでおります。
図の豊富な教科書をありがとうございます。
p.283の、l=1, m=0の場合の球面調和関数の説明です。
（「北極と南極を行ったり来たり」）
1) L=1, m=1の角運動量(z軸を向いている)
2) m=0の場合はJzが0ですので、上の1)の矢印をx-y平面に倒す。
3) x軸にそうように倒すとしましょう、
4) x-y平面ではどっちに向いているかわからないので
5) 矢印(角運動量ベクトル)をx-y平面の中でぐるっと$\phi$方向に回す。
6) どっちの$\phi$を向いていても必ず北極と南極は通るので、
重ね合わせると$\theta=0$, $\pi$方向で極大。$\cos{\theta}$のようになる。
という説明はいかがでしょう。
おかあちん
- ちょっと返信おそくなりました。「ｘ軸にそうように倒した」結果は(12.110)の${-Y^1_1+Y^{-1}_1\over 2}=\sqrt{3\over8\pi}{x\over r}$に対応すると思います。 -- 前野?
- これは重ね合わせても$Y^0_1$にはならないですね。 -- 前野?
ψ（ξ）→ψ(ξ、t)について †
ふじまる? (2019-09-26 (木) 18:50:20)
P241からP242にかけて、ψ（ξ）をψ(ξ、t)に書き換えられています。ψn(ξ）→ψn（ξ）e xp（-i(n+1/2)ωt)となるのはなぜですか？時間依存のある時のシュレーディンガー方程式とつじつまを合わせるためですか？
- 「つじつまを合わせる」ってのはどういう意味だろう？？ ここまでの計算に忠実にやっているだけです。エネルギー固有値が$\hbar\omega(n+{1\over2})$であることは示しているので、波動関数の時間依存性が$\exp\left(-i(n+{1\over2})\omega t\right)$になることはすでにわかっていることなのですが。 -- 前野?
- 時間に依存する波動関数$\psi(\xi,t)$が、固有関数$\psi_n(\xi)\exp(-i{E_n\over\hbar} t)$の線型結合になる理由がわからない、ということでしょうか？ それはずっと前（5.3節）で説明済みですが。 -- 前野?
- すみません。ψ(ξ、t)をexp(−iEnℏt)で表した時の係数がψn(ξ)であることが完全に頭から抜けていませた。そういうことでしたか。 -- ふじまる?
- ψ ( ξ , t ) はいつもΣψn(ξ)exp(−iEnt/ℏ)の形に表せるのですか？ -- ふじまる?
- ごめんなさい、５、３節を読んでも分かりませんでした。 -- ふじまる?
- フーリエ展開のように考えるならば、nが無限まで続くとき、周期的な関数がΣψn(ξ)exp(−iEnt/ℏ)で表せるような気はします。 -- ふじまる?
- 周期関数だとかそういうことは関係ありません。偏微分方程式を変数分離して解いているだけのことです。変数分離ができるというのは計算をすすめるための仮定ですが、この場合はそれでちゃんと解が求まっています。 -- 前野?
- 変数分離をして偏微分方程式をといて、出てきた解の線型結合で一般的な解を求めるということでしたか。分かりました！ありがとうございます。 -- ふじまる?
等式がなぜ成り立つのかわからない †
ふじまる? (2019-09-26 (木) 18:44:16)
P230の式(11.28)について質問です。中辺から右辺の式変形がなぜそうなるのか分かりません。また、式(11.27)の導出も気になります。
- すぐ上に書いてあるように「次の節で示す演算子での計算法を 使って求めた方がずっと楽だから」ということでこの計算に関しては記してません。 -- 前野?
- どうしてもこの関数の形で計算したければ（演算子での計算では納得いかないというのなら）、真面目に部分積分を使った長い計算をやれば出てきます。エルミート多項式に関する本などを見れば載っているかと思います。 -- 前野?
- あと方法としては、エルミート多項式の漸化式を使って計算するという方法もあります（そっちの方が少し早い）。 -- 前野?
- 演算子の方法でも納得がいかないわけではありません。一応、級数展開の方でも理解をしたいと思います。n=1,2,3,4の時は実際に計算をして納得できました。（11,28)を導きたいのですが、その前に式（11,27)の導出はどのようにすれば良いですか？ -- ふじまる?
- このあたりは量子力学の本質とは関係ない、ただ計算が面倒なだけの話なので書いていませんが、自分で計算するのなら、エルミート多項式の母関数の式（$e^{2t\xi-t^2}=\sum_n H_n {t^n\over n!}$）を使って出すのが一番早いです。 -- 前野?
- これに$e^{-\xi^2}$を書けて$e^{-\xi^2+2t\xi-t^2}=\sum_n e^{-\xi^2}H_n{t^n\over n!}$にして、左辺をテイラー展開して$t$の各べきの係数を比較すると出ます。 -- 前野?
- 式(11.27)と式（11.28）の導出できました！式（11.２８）は母関数を用いる方法が調べたら出てきましたのでそれでやりました。ありがとうございます。 -- ふじまる?
演習問題１０−１ †
ふじまる? (2019-09-19 (木) 18:55:39)
演習問題１０−１を問い１０−２以降と同じように解けるとしているのはなぜですか？波動関数は０＜x＜dの時、一般的なAe xp（ik x）＋Be xp（ーik x）とする必要があるのではないのですか？
また、 x＜０でV(x）＝∞となっていますがx＝０でのdψ/d xの接続条件はどのようになるのですか？ポテンシャルがデルタ関数型の時のようにx＝０−０と x＝０＋０の時でdψ/d xが等しくならなくても良いのですか？
- 最初の質問については、(F.70)のように$\sin kx$を使っています。$\sin kx$は$e^{ikx}$と$e^{-ikx}$の引き算です（$B=-A$の場合に該当）。ヒントにあるように答えは奇関数に限るのですから、これ以外はありません。 -- 前野?
- V(x)=∞の境界条件があるときには微分は接続されません。それについては前にやった問題と同じです。 -- 前野?
- 前にやった、というのは９．１節の箱に閉じ込められた粒子の場合で、この場合も壁の部分で微分係数の接続は考えていません。 -- 前野?
- そういうことでしたか。わかりました！ありがとうございます -- ふじまる?
井戸型ポテンシャル：束縛されていない状態 †
ふじまる? (2019-09-16 (月) 19:08:01)
P205の10.3節では井戸型ポテンシャルにいる粒子の波動関数が無限遠方で減衰しない解を考えていますが、∫dxψψ＊＝１にはなりませんよね。このような波動関数はあり得るのですか？無限遠方で減衰しない解を考えても良いのですか？
- それに関しては９．２節で説明済みです。 -- 前野?
- P１８３の補足のところですか？e xp(ーα x＾２）がつくと9.2 節からの計算がくるいませんか？ -- ふじまる?
- くるうというか、もちろん修正は必要です。しかしexp(-αx2)が付いたものも単色波の重ね合わせなんですから、計算は重ね合わせで実行すればいいです。 -- 前野?
- 式（9.21)はフーリエ変換の式ですよね。それなら納得しました！ありがとうございます。実際に規格化された波動関数を求めるときは大変ですね。 -- ふじまる?
９章演習問題９−５ †
ふじまる? (2019-09-15 (日) 17:17:09)
P１９６の3行目の式が陽子が接触する確立となるのはなぜですか？P１９３の9.3.1節を読む限り、P１９６の3行目の式は(陽子がδrにいる確率)/（陽子がrにいる確率）を表しているのではないのですか？
- rまでは確実に来る(つまりrのところに来る確率1)として、という相対確率の計算です。 -- 前野?
不確定性関係から最小のエネルギーを見積もる †
ふじまる? (2019-09-12 (木) 16:42:28)
すみません。部活の合宿など、いろいろな行事があり返信が遅くなりました。ブラ・ケットに関しましては後ほど考え直して見ます。とりあえず、先に進みます。
P195の演習問題９−１ですが、不確定性関係から最小のエネルギーを見積もるときに （（Δp）＾2）/２m = mg∆xとするのはなぜですか？
- 古典的な運動を考えれば、運動量が$-\Delta p \sim \Delta p$の間を動いているときに、位置が$0\sim\Delta x$の間を動いているというイメージができると思います。 -- 前野?
- E=（p＾2）/２m + mgxで、Eが一定とするとΔE＝（（Δp）＾2）/２m＋mg∆x＝０となり、符号はΔxに押し込んで（（Δp）＾2）/２m = mg∆xとなるということですか？ -- ふじまる?
- 全然違います。古典的に考えれば、一番高いところで運動エネルギーが0で位置エネルギーmgΔx、最低点(地面)では位置エネルギー0で運動エネルギーが(p^2/2m)、これで保存則を考えます。普通の、古典りきがの計算です。 -- 前野?
- そういうことでしたか。ありがとうございました。 -- ふじまる?
フーリエ変換とユニタリ変換 †
ふじまる? (2019-08-29 (木) 15:44:07)
P143に「フーリエ変換は無限行無限列行列を使ったユニタリ変換と捉えられる」とありますが、これはどういうことですか？ψ（ x）＝L＾（ー1／2){F1e xp（ip1 x/h)+F2e xp（ip2 x/h)+・・・}として、ψ（ x）（ーi（hバー）∂/∂ xψ＝p１(F1＊)F1+p2(F2＊)F2+p3(F3＊)F3+・・・となりますがこれがフーリエ変換とどう関係あるのですか？
- $\psi(x)$は波動関数という「位置座標の関数」で書かれていて、$F_i$は添字$i$が運動量に比例するということを考えると$(F_1,F_2,\cdots)$の各々の$F_i$は「運動量の関数」です。「座標の関数→運動量の関数」と変えるという意味ではフーリエ変換です。 -- 前野?
- そういうものもフーリエ変換と呼ぶのですね。分かりました。ありがとうございます。 -- ふじまる?
ケットで書いたシュレーディンガー方程式 †
ふじまる? (2019-08-27 (火) 13:55:35)
何度もすみません。P155の式（７.５６）は各 位置 xでシュレーディンガー方程式が成り立つという意味ですか？
- (7.56)はケットで書いてあるのだから「場所」の概念はありません。しかし(7.56)に前から<x|を掛ければ「場所ｘにおけるシュレーディンガー方程式」が出てくるので「(7.56)が成り立つなら任意の場所でのｘ表示のシュレーディンガー方程式が成立する」ということはもちろん言えます。 -- 前野?
- （７．５６）はψを何の関数で表すかに依らずに、シュレーディンガー方程式が成り立つという事ですか？ψを変数を表記せずにi（hバー）∂/∂tψ=Hψと書いたのと同じですか？ -- ふじまる?
- ケットベクトルというのは「何の関数で表すか」に依存しない形式です。$<？|\psi>$のようにすると「？の関数」になります。無限次元のベクトルとして扱っていることが大事なので、単に「変数を表記してない」という問題ではありません。 -- 前野?
- ψを何の関数で表すかに依らずにシュレーディンガー方程式が成り立つという事ですか？それは自明な事なのですか？ -- ふじまる?
- ＜ x｜ψ＞のフーリエ変換が＜p｜ψ＞という事ですか？そうすると、＜ x｜ψ＞と＜p｜ψ＞は違う関数になりますよね。それなのに、シュレーディンガー方程式が＜ x｜ψ＞と＜p｜ψ＞の両方で成り立つのですか？ -- ふじまる?
- 当然、どの関数で表現しているかでシュレーディンガー方程式の微分方程式としての形は変わりますよ。ｘ表示とｐ表示では$\hat p$の表現が違うのですから。「なんの関数で表すかに依らずに成り立つ」というのは「それぞれの表示でのシュレーディンガー方程式が成り立つ」ということです。表示によらない書き方が$i\hbar{\partial \over\partial t}|\psi>=\hat H\psi$です。 -- 前野?
- $<x|\psi>=\psi(x)$と$<p|\psi>=\psi(p)$は別の関数です（当然）。 -- 前野?
- たとえばx表示の方の自由粒子のシュレディンガー方程式のハミルトニアンは$H=-{\hbar^2\over 2m}{\partial^2\over\partial x^2}$です。 -- 前野?
- p表示の方の自由粒子のハミルトニアンは$H={p^2\over 2m}$です。ハミルトニアンの形は違いますが、$i\hbar{\partial\over\partial t}<x|\psi>=<x|\hat H|\psi>$および$i\hbar{\partial\over\partial t}<p|\psi>=<p|\hat H|\psi>$はどちらも成り立ちます。関数も変わって演算子も変わっているのだから、別に不思議な話ではないでしょう。 -- 前野?
- ｘ表示とかｐ表示とかの詳しい説明は７．６節です。 -- 前野?
- $<x|\psi>$のフーリエ変換が$<p|\psi>$になる、という話も７．６節に書いてあります。 -- 前野?
- ＜ x｜ψ＞のフーリエ変換が＜p｜ψ＞という事ですか？そうすると、＜ x｜ψ＞と＜p｜ψ＞は違う関数になりますよね。それなのに、シュレーディンガー方程式が＜ x｜ψ＞と＜p｜ψ＞の両方で成り立つのですか？ -- ふじまる?
- ごめんなさい。また間違えました -- ふじまる?
- ＜ x｜ψ＞のフーリエ変換が＜p｜ψ＞という事ですか？そうすると、＜ x｜ψ＞と＜p｜ψ＞は違う関数になりますよね。それなのに、シュレーディンガー方程式が＜ x｜ψ＞と＜p｜ψ＞の両方で成り立つのですか？ -- ふじまる?
- ＜ x｜ψ＞と＜p｜ψ＞はどちらも本質的には｜ψ＞のことという事ですか？そうすると｜ψ＞は一体どんなものですか？（ベクトルならば矢じるしでイメージがわきますが、関数であるψはどの様にイメージを持てば良いですか？ -- ふじまる?
- ｜ψ＞の表し方によって演算子が変わるという事ですね。演算子の変わり方はどの様にして決まるのですか？ -- ふじまる?
- この辺の話は７章でじっくり書いてあると思うんですが。 -- 前野?
- |ψ＞がどんなベクトルなのかについても、わかりにくいなら最初は（７．１）のようなものだと思ってください。これは一つの例ですが、ベクトルの表現がいろいろあるのは３次元のベクトルでも同じ（直交座標だったり極座標だったり）です。 -- 前野?
- というわけで、「｜ψ＞はいったいどんなものか？」については７章の頭からじっくり読んでください。 -- 前野?
- ３次元のベクトルだって、最初に習うときは$(A_x,A_y,A_z)$と成分で表示してあるのを習いますが、進んでいくと抽象的に$\vec A$とおいて計算することができるようになりますよね。それと同じで、まずはｘ表示から始めて抽象的に（具体的な表示に依らないように）書いていくとブラ、ケットになります。 -- 前野?
- わかりました。７章をもう一度やり直して見ます。考え直した後に、再度質問します。 -- ふじまる?
- 読み直してみました。｜ψ＞のイメージは「 xという空間座標が成分を区別するラベルになっているベクトル」という説明でわかりました。そうすると、ψ（p）は｜ψ＞のp成分ということになりますか？｜ψ＞の表し方は基底の選び方によるんですよね。いまだにすっきりしていません。 -- ふじまる?
- A=(A x)(e x）＋(A y)(e y）＋(A z)(e z）＝(A r)(e r）＋(A θ)(e θ）＋(A φ)(e φ）の様に｜ψ＞を表すことはできますか？ -- ふじまる?
- すみません。Aはベクトルです -- ふじまる?
- 同じ質問を繰り返してしまい申し訳ありませんが、演算子が 表示によってでどの様に変化するのかわかりません。例えば、章末演習問題７−２でなぜ、pー表示だと x＝i（hバー）∂/∂pになるのか分かりません。 -- ふじまる?
- たとえば$|\psi>=\int \mathrm dx|x><x|\psi>$というのは、同じ表し方です。$|x>$が基底ベクトルで、基底ベクトルの線型結合で任意のベクトルが表現できる（というのも本に書いてあるはず）。 -- 前野?
- x表示では$\hat p$が$-i\hbar{\partial\over\partial x}$になることは、(7.73)のあたりで示してますが、これはわかりますか。 -- 前野?
- 正確には、(7.73)は$<x| \hat p |x'> = -i\hbar {\partial \over \partial x}\delta(x-x')$です。つまり演算子$\hat p$を$<x|$と$|x'>$で挟むと$-i\hbar {\partial \over \partial x}\delta(x-x')$になる。$\hat x$が$i\hbar{\partial\over\partial p}$になるというのも、同じような意味です。 -- 前野?
- $p=-i\hbar{\partial\over\partial x}$（←この等式は成立しない）になるのではなく、あくまで「x表示に書き換えるとそう置き換えられる」ということです。 -- 前野?
- $<x|x'>=\delta(x-x')$なので、「$\hat p$を挟む」という操作は「$-i\hbar{\partial\over\partial x}$を掛ける」という操作と同じ意味を持つ。そういう意味で「置き換えられる」ということです（このあたりの演算子を微分に置き換えたりする話は全部そういう説明になってます）。 -- 前野?
- たとえば$\hat x$の期待値は$<\psi|\hat p|\phi>$ですが、これを$x$表示に直すなら、$\int \mathrm dx\int\mathrm dx'<\psi|x><x|\hat p|x'><x'|\psi>$です。ここで$<x|\hat p|x'>$が上に書いたデルタ関数を微分したものになるので、$x'$の積分をちゃんとやった結果は$\int \mathrm dx <\psi|x> (-i\hbar{\partial \over \partial x})<x|\psi>$となります。 -- 前野?
- このあたりの表示を変える説明は１５８ページあたりからにあります。 -- 前野?
- |ψ>=∫dx|x><x|ψ> | ψ >= ∫ d p | p >< p | ψ >という -- ふじまる?
- A=(A x)(e x）＋(A y)(e y）＋(A z)(e z）＝(A r)(e r）＋(A θ)(e θ）＋(A φ)(e φ）は|ψ>=∫dx|x><x|ψ> | ψ >= ∫ d x | x >< x | ψ > ということと同じですか？ -- ふじまる?
- ↑２個めの式と３個めの式が同じですが？？？ -- 前野?
- Aの方は２個めの式と３個めの式が違うけど、Ψの方は２個めの式と３個めの式が同じですが？？？ なので「同じ」とは言えないです。 -- 前野?
- $|\psi>=\int \mathrm dx|x><x|\psi>=\int \mathrm dp|p><p|\psi>$と書きたかったのかな？？？ -- 前野?
- ３次元ベクトルを直交座標でも極座標でも表現できるように、状態ベクトルもｘ表示でもｐ表示でも表現できる、という意味のことが言いたかったのなら、そのとおりです。 -- 前野?
- p=−iℏ∂∂xの置き換えは−iℏ∂∂x（e xp（ip x/ℏ））＝p・e xp（ip x/ℏ）となることで理解しています。ですが、iℏ∂∂p（e xp（ip x/ℏ））＝ x・e xp（ip x/ℏ）になりません。これで戸惑っています。 -- ふじまる?
- ごめんなさい。|ψ>=∫dx|x><x|ψ>=∫dp|p><p|ψ> | ψ >= ∫ d x | x >< x | ψ >= ∫ d p | p >< p | ψ > と言いたかったのです・・・ -- ふじまる?
- 「iℏ∂∂p（e xp（ip x/ℏ））＝ x・e xp（ip x/ℏ）になるべき」という考えが間違ってます。なぜ$x$が$i\hbar{\partial\over\partial p}$と置き換えられるべきなのかについては、151ページのFAQで詳しく説明しているので、そこを読んでください。 -- 前野?
- あるいは、$<x|\hat p|p>=-i\hbar{\partial\over\partial x}<x|p>$に対応する（xとpの立場を入れ替えた）式は、$<p|\hat x|x>=i\hbar{\partial\over\partial p}<p|x>$だと考えてもいいです。 -- 前野?
- $<x|p>=\exp({i\over \hbar}px)$で、$<p|x>=\exp(-{i\over\hbar}px)$です。 -- 前野?
- 成り立つべき式は$i\hbar{\partial\over\partial p}\exp(-{i\over \hbar}px)=x\exp(-{i\over\hbar}px)$です。 -- 前野?
- あ、上で定数${1\over\sqrt{2\pi\hbar}}$を忘れた式を書いてしまいましたが、適当に補完してください。 -- 前野?
- 期待値を計算する際はA（ x）＝A(iℏ∂∂p)と置き換えても良いと言うことはP151のFAQで分かりました。x表示ではA（ x）になり、p表示ではA(iℏ∂∂p)になることを示しているのも何となくですがわかります。ですが、期待値を計算している時以外（例えばP162式（７、９０））の時でも「表示ではA（ x）になり、p表示ではA(iℏ∂∂p)になる」と言うことが言えるのですか？ -- ふじまる?
- P162式（７、９０）が{p＾２／（2m）+mgiℏ∂∂p}Ψ（p）＝EΨ（p）になることをフーリエ変換を用いて示す事は出来ますか？ -- ふじまる?
- 今現在、 xー表示とpー表示を扱って理解をしようとしているのですが、それ以外の表示はあるのですか？ -- ふじまる?
- x表示の場合、$<x|\hat p|x'>$を、$x,x'$が任意の状態に対して計算できてます。それはつまり「計算すべき内積すべてを計算できた」のと同じことです。だからｘ表示での$\hat p$の表現は$-i\hbar{\partial\over\partial x}$以外にはありません（p表示での$\hat x$も同様）。 -- 前野?
- {p＾２／（2m）+mgiℏ∂∂p}Ψ（p）＝EΨ（p）は、フーリエ変換やってみればすぐに示せると思いますよ。 -- 前野?
- ｘ表示で$x$なものがp表示でどうなるかは、$<x| x |\psi>=\int \mathrm dp <x|x|p><p|\psi>$のような計算をすれば求められます。$<x|x|p>=x\exp({i\over\hbar}px)=-i\hbar{\partial\over\partial p}\exp({i\over\hbar}px)=-i\hbar{\partial\over\partial p}<x|p>$のように計算して、部分積分を使えばいいです。 -- 前野?
- 「計算すべき内積すべてを計算できた」と言いますとど言うことですか？ -- ふじまる?
- <x|x|ψ>＝∫dp<x｜p> x<p|ψ>で、他の計算で<x|x|ψ>＝∫dp<x｜p> iℏ∂∂p<p|ψ>となるから x＝iℏ∂∂pとい言う論理ですか？ -- ふじまる?
- フーリエ変換の件は確かに出て来ました -- ふじまる?
- ある演算子$\hat O$に対し、任意の$x,x'$での$<x|\hat O|x'>$を計算できたら、$\psi$や$\phi$がどんなベクトルでも$<\psi|\hat O|\phi>$は計算できます。こういう意味で「すべての内積を計算できた」のと同じことです。任意の状態に対して$\hat O$がどんな結果を生むかがわかったということになります。 -- 前野?
- そうなったらそれは、その演算子に関して知るべき情報は全部得られているということになります。 -- 前野?
- ＜Ψ｜O^|φ＞＝∫ dx∫ dx’＜ψ｜ x＞＜ x｜O^| x’＞＜ x’｜ψ＞＝∫ dx∫ dx’ψ＊（ x）＜ x｜O^| x’＞ψ（ x）となって計算できるということですか？ -- ふじまる?
- 内積に関しては確かに<x|Ô |x′>を計算すれば x表示でのO＾がわかると言うのは分かりました。ですが、そのことを内積以外の計算の時に（例えばP162(７.90))使っても良いのですか？ -- ふじまる?
- 任意の状態に対する内積がどうなるかがわかったということは、その状態がどういう状態かわかったということです。たとえば|A>という状態がどういう状態かは、任意の状態＜ψ｜との内積＜ψ|A>がわかればわかります。 -- 前野?
- 同じことを上にも書いたかもですが、３次元のベクトルならｘｙｚの３成分がわかればもう決まってます。「$\vec A$と$\vec B$はｘ成分もｙ成分もｚ成分も等しいなら同じベクトルだ」というのは当たり前のことでしょう。 -- 前野?
｜ x、P＞の存在 †
ふじまる? (2019-08-26 (月) 11:17:04)
｜ x、P＞の存在は交換関係[ x、p]＝ihバーと矛盾する、とはどういう事ですか？
- 「交換しない２つの演算子は同時固有状態を持てない」（８．２節）と同じ話です。同時固有状態があったら、その固有状態に[x,p]を掛けたら０になってしまいます。 -- 前野?
- まだそこまで進んでいませんでした。勉強します。 -- ふじまる?
- 進んでなくても「同時固有状態があったらその状態に[x,p]を掛けたら０になる」というのはわかるはずなので、それで理解してください。 -- 前野?
- 少し読んでみて、「同時固有状態があったらその状態に[x,p]を掛けたら０になる」ということは理解しました。しかしこの事が｜ x、P＞の存在とどう関係があるのですか？そもそも「｜ x、P＞の存在」とは｜ψ＞を｜ x＞と｜P＞の両方を混ぜて表すという事ですか？ -- ふじまる?
- |x.p>の意味をわかってなかったみたいですが、|x,p>というのは「ｘとｐの同時固有状態」という意味です。つまり|x,p>があったら[x,p]を掛けたら０になるが、それは交換関係に矛盾します。 -- 前野?
- そういう事でしたか！その部分はわかりました。ありがとうございます。 -- ふじまる?
ふじまる †
ブラ・ケットによる記法? (2019-08-25 (日) 19:28:33)
三次元ベクトルにおける、ブラ・ケットによる記法はよくわかったのですが、ψやxのような、連続の関数におけるブラ・ケットによる記法がよくわかりません。（7.34)のψ１、ψ２、ψ３・・・は具体的には何の値ですか？ここに出てきているψってψ(x)という関数ですよね。
(7.42)は｜x＞をベクトルとみなせば演算子x＾の定義そのもので、当たり前ではないのですか？
- $\psi_1$は「場所$x=x_1$における$\psi(x)$」です。実際には場所$x_1$は連続的に変化しますが、それを離散的だと思って書けばこの式のようになる、ということです。 -- 前野?
- $\hat x|x>=x|x>$は、$|x>$というベクトルが演算子$\hat x$の固有ベクトルになっていなければ意味のない式で、$\hat x$の定義ではないです（むしろ固有ベクトル$|x>$の定義）。 -- 前野?
- ちょっと自分の中でx＾はどんなものかわからなくなってきました。x＾の定義を教えてください。 -- ふじまる?
- 定義は$|x>$という（場所$x$に局在した状態）にかかればその場所の座標$x$が固有値として出てくる演算子、ですね。 -- 前野?
- (7.42)の上にある基底を使った行列表示なら$\left(\begin{array}{cccc}x_1&0&0&\cdots\\0&x_2&0&\cdots\\0&0&x_3&\cdots\\ \vdots&\vdots&\vdots&\end{array}\right)$のような行列で表されます。 -- 前野?
- ああ、この式は(7.13)で書いてました。 -- 前野?
- なるほど。x＾のことはわかりました。 -- ふじまる?
- ところで、P１４８,１４９の話に戻りますが、｜ψ＞がψ（ x）をみじん切りにして列ベクトルの様に並べたものならば、これが『抽象的に｜ψ＞と書いた場合、波動関数をψ（ x）と書くよりも一般的になっている』とはどういう事ですか？｜ψ＞は座標系によらない表記ならばその内積＜ψ｜φ＞も座標系によならくなるのですか？ -- ふじまる?
- $|\psi>$は座標系によらないです（それはベクトル$\vec A$が座標系によらないのと同じ）。$<x|\psi>=\psi(x)$は座標系によってます（これは$\vec A$の成分である$A_x,A_y,A_z$が座標系によるのと同じ）。 -- 前野?
- 一般的な内積$<\phi|\psi>$は座標系によりませんが、特定の座標系に準拠して作った$<x|$との内積である$<x|\psi>$は座標系によります。 -- 前野?
- ところで、P１４８,１４９の話に戻りますが、｜ψ＞がψ（ x）をみじん切りにして列ベクトルの様に並べたものならば、これが『抽象的に｜ψ＞と書いた場合、波動関数をψ（ x）と書くよりも一般的になっている』とはどういう事ですか？｜ψ＞は座標系によらない表記ならばその内積＜ψ｜φ＞も座標系によならくなるのですか？ -- ふじまる?
- なるほど。x＾のことはわかりました。 -- ふじまる?
- なるほど。P148(7.34)の式では＜ψ｜φ＞がψとφの内積となっていますが、ψとφの内積は本来積分で表されますよね。（７.３４）の左辺が内積となるためにはΔ xをかける必要があるのでは無いのですか？ -- ふじまる?
- いいえ。「本来積分」じゃありません。本来が$<\phi|\psi>$という内積で、それを書き直して$\int<\phi|x><x|\psi>\mathrm dx$のように積分の形で書くこともできます。 -- 前野?
- ＜ψ｜、＜φ｜が無限次元ベクトルで、＜ψ｜φ＞＝ψ（ x１）* φ（ x１）＋ψ（ x２）*φ（ x２）＋・・・・のことを内積と呼ぶならば、＜ψ｜φ＞が発散してしまう感じがします。＜ψ｜φ＞Δ x＝ψ（ x１）* φ（ x１）Δ x＋ψ（ x２）*φ（ x２）Δ x＋・・・・を内積とすると＜ψ｜φ＞Δ x＝∫ϕ（ x）ψ（ x）dxが成り立つのではないのですか？ -- ふじまる?
- ＜ψ｜φ＞＝ψ（ x１）* φ（ x１）＋ψ（ x２）*φ（ x２）＋・・・・という書き方は成分が無限大になる極限を取る前の形です。内積はどうせ最後に「全確率が１」になるように規格化するので、成分無限大の極限を取るときには、Δｘに対応するものが掛け算されていると思ってください。 -- 前野?
- 実際には連続的な量である$x$を、$x_1,x_2,\cdots,x_N$と書いている時点で、離散化したモデルに置き換えているわけです。離散化した状態からもとにもどすときには、たしかにΔｘを掛けるという操作は要ります。 -- 前野?
- なるほど。ぼんやりとブラ・ケットについて分かって来ました。ちなみにP148の式（７.３４）にあるψ１はψ（ x１）だったり、ψ（r１）だったりするのですか？ -- ふじまる?
- ブラ・ケット表記についての理解がまだできていません。P156,157 では｜ψ＞を無限次元のベクトル -- ふじまる?
- としてだいたいわかりました。しかしP158.~161にかけて、∂/∂ x＜（なんか）｜が出て来たりして、ブラベクトルが無限次元のベクトルなのか関数なのかわかりません。∂/∂ x＜（なんか）｜は何を表すのですか？P158~P161にかけて式の意味するところがつかめなくなってしまいました。 -- ふじまる?
- (7.34)に関しては一般的な式を書いているので、$\phi(x_1)$のようになっている場合もあれば、$\phi(p_1)$のようになっている場合もあろうし、いろいろだと思います。 -- 前野?
- 「ブラベクトルが無限次元のベクトルなのか関数なのかわかりません」という話ですが、一般的な意味では、ベクトルです。$<\psi|x>$は、$\psi^*(x)$という関数です。ブラベクトル$<\phi|$は１本のベクトルで波動関数の持つすべての情報を持ってます（ある場所ｘでの情報だけではなく）。 -- 前野?
- ｘ表示の基底であるケットベクトル$|x>$やブラベクトル$<x|$は「ｘを決めるとベクトルが一本決まる」という意味では関数です（ベクトルであると同時に関数になってはいけないわけではない）。$<x|$は「ｘの関数であるブラベクトル」であり、それはｘで微分できます。 -- 前野?
- ｜ x＞の微分とはどの様なものですか？少しイメージがつきません。P158式（７.６９）もこの時のp＾とは何ですか？行列ですか？それとも微分演算子ですか？また、p＾｜p＞＝p｜p＞が成り立つとき状態｜p＞が運動量pを持った状態であるとはどういう事ですか？ -- ふじまる?
- ブラベクトル 、ケットベクトル、演算子に対して結合則が成り立つのは行列の性質を引き継いでいるという事ですか？ -- ふじまる?
- 微分は普通の微分の定義と同じ。${\partial\over\partial x}<x|=\lim_{\Delta x\to0}{<x+\Delta x|-<x|\over \Delta x}$です。 -- 前野?
- $\hat p$のように$\hat ~$をつけているものは演算子です（そういう表記ルールで書いてます）。 -- 前野?
- 「p＾｜p＞＝p｜p＞が成り立つとき状態｜p＞が運動量pを持った状態であるとはどういう事ですか？」ってのは、本にじっくり書いてあると思うんですが、そのどこがわからないのでしょう？？この式が成り立つ状態に対しては何度運動量を測定しても同じｐという値が出ます。 -- 前野?
- 固有状態ということは「測定すると常に固有値が観測される」ということです。このあたりの話は第６章で詳しく書いてます。 -- 前野?
- 演算子の話に戻りますが、$\hat p$は抽象的な演算子で、どんな表示で書いているを指定してません。p-表示では演算子$\hat p$は固有値$p$に置き換えることができるし、x-表示では演算子$\hat p$は微分演算子$-i\hbar{\partial \over \partial x}$に置き換えられます。表示の仕方によっては行列にもなります（たとえば(7.15)式）。 -- 前野?
- 結合則が成り立つのはそういう演算子を考えているからですね。そして、結合則が成り立つから行列表示ができます。 -- 前野?
- p＾e xp（ik x）＝k（hバー）e xp（ik x）となり、p＾e xp（ik x）＝pe xp（ik x）が成り立ちますよね。この時e xp（ik x）が運動量k（hバー）を持つのはわかります。ですがベクトル である｜p＞が運動量pを持つとはどういう事ですか？もしかして、ここでは基底ベクトルをP151式（７.４１）と式（７.４２）の間の式でとらえるのは良くないですか？ -- ふじまる?
- 「抽象的な演算子」とありますが、演算子はどの様に定義されるのですか？ -- ふじまる?
- 考えている演算子がエルミート演算子であるのも結合則が成り立つ理由の一つですか？ -- ふじまる?
- $|p>$というのは「波動関数の一つの表現」で、それをx表示すれば$<x|p>=\exp({i\over\hbar}px)$です。つまり、$|p>$と書くか$\exp({i\over\hbar}px)$と書くかは表示の違いです。 -- 前野?
- 結合則はエルミートかどうかよりももっと前から成り立っている話です。 -- 前野?
- exp(ikx)が運動量の固有状態であるとわかるなら、それのケットベクトル表現が|p>だと思ってください。 -- 前野?
- 最初は$x$や$p=-i\hbar{\partial\over\partial x}$、あるいは微分演算子で表現した$H$を「演算子」と考えます。そこで波動関数$\psi(x)$というのを一種のベクトル（ケットベクトル）と考えてもよい、とわかったので、じゃあベクトルをどう表示するかにいろいろある、実は$x$や$-i\hbar{\partial\over\partial x}$なんてのは一つの表示に過ぎない・・・という方向に話を進めてます。 -- 前野?
- ブラやケットで書いたのが一般的な表現で、ここまでで考えていた$\psi(x)$なんてのはその表現の一つでしかなかったということです。 -- 前野?
- ψを何の関数で表すかに依らずにシュレーディンガー方程式が成り立つという事ですか？それは自明な事なのですか？ -- ふじまる?
- ごめんなさい -- ふじまる?
- ψ（ x）のフーリエ変換がΨ（p）とすると、Ψ（p）はψ（ x）から求めることができ、ψ（ x）もΨ（p）から求めることができるのでψ（ x）とΨ（p）は同等に扱える。なのでこれらのψ（ x）もΨ（p）を｜ψ＞と表す。という考え方であっていますか？｜ψ＞の x表示、p表示以外の表示があるならば、それはどの様に表されますか？具体例などを頂ければそれでイメージを作りたいです。 -- ふじまる?
- いいえ。$|\psi>$は特定の表示を使わない抽象的なベクトルの表現なので「$\psi(x)$を$|\psi>$と表す」のは逆で、「$|\psi>$のｘ表示での表現が$\psi(x)$である」が正しいです。つまり、根本は$|\psi>$の方であるべきです。表すならば、$\psi(x)=<x|\psi>$であるべきです。 -- 前野?
- 基底ベクトルになるベクトル$|n>$があれば、$\psi(n)=<n|\psi>$で「ｎ表示」が作れます。ｎは、$|n>$が完全系を張っているベクトルならなんでもいいです。縮退がない（同じエネルギーを持つ状態が２つ以上ない）ならば、エネルギーの固有ベクトル$|E>$を使ってもいいです。後で出てくる例としては、調和振動子のFock空間というのがあります。 -- 前野?
- ぼんやりとした｜Ψ＞のイメージは伝わって来ました。この質問は逆に難しくなるかもしれませんが、それでは｜Ψ＞を -- ふじまる?
- 数学的に定義するとどの様なものになりますか？ -- ふじまる?
- ここまでの話で、「数学的に定義できてない」と思うところは何ですか？ たとえばｘ表示での成分が$<x|\psi>$になるベクトルが$|\psi>$と言ったら、何が定義できてないと思うのですか？ -- 前野?
- おそらく、｜ x＞以外の基底（｜p＞など）がどんなものか分かっていないのでわからないんだと思います。＜ x｜p＞=exp(ipx/ℏ)となると言われても、いまいち｜p＞のイメージが湧きません。 -- ふじまる?
- $<x|p>=\exp({i\over\hbar}px)$と書いたらそれで、$|p>$は定義されていると言ってもいいです。ですからそれ以上にイメージ、というのは何を求めているのでしょう？？$|p>$は演算子$\hat p$の固有状態（固有ベクトル）として定義されたベクトルで、この定義と交換関係$[\hat x,\hat p]=i\hbar$があれば$<x|p>$が$\exp({i\over\hbar}px)$となることは決まってしまいます。 -- 前野?
- $\hat p$の固有状態であることと交換関係だけから$<x|p>$がわかる、という話は本に書いてます。 -- 前野?
P１５２（７、４６）から下 †
ふじまる? (2019-08-25 (日) 16:56:14)
式(7,46)から下の説明ではーA(-ih∂/∂p)=A(ih∂/∂p)であるということですか？このようなことは一般のA(-ih∂/∂p)について言えるのですか？
- ＝ではないですよ。微分が右に掛かるか左に掛かるかという違いがあります。$-i\hbar{\partial \over \partial x}$のときは右に掛かり、$i\hbar{\partial \over\partial x}$のときは左に掛かります。演算子として$A(-i\hbar{\partial\over\partial x})=A(i\hbar{\partial\over\partial x})$という式は成立しません。 -- 前野?
- ーA(-ih∂/∂p)ψ=A(ih∂/∂p)ψのところがいまだにわかりません。演算子は右にかかるものでは無いのですか？また、端点で被積分関数が０という仮定をしていますか？ -- ふじまる?
- ここでは「部分積分した」と言っているのですから、部分積分後の微分は左にかかってます。状況に応じて考えましょう。ですから、ーA(-ih∂/∂p)ψ=A(ih∂/∂p)ψという式は間違いです（積分してない式では部分積分もくそもない）。 -- 前野?
- 表面項が消えるという仮定は、もちろんしてます。 -- 前野?
- 部分積分した後、ー（A(-ih∂/∂p)ψ）exp( -- ふじまる?
- すいません。誤送しました。 -- ふじまる?
- 部分積分した後、ー（A(-ih∂/∂p)ψ）exp( ipx/hバー）になることは良いのですが、そこからどうして（A(ih∂/∂p)ψ）exp( ipx/hバー）になるのかわかりません。ーih∂/∂p→ih∂/∂pと置き換わるのはなぜですか？ -- ふじまる?
- Aの中には${\partial\over\partial p}$や二階微分${\partial ^2\over\partial p^2}$があります（もちろん三階以上の微分もあっていい）。ｎ階微分なら部分積分をｎ階やるので、${\partial^n\over\partial p^n}\to (-1)^n{\partial^n \over\partial p^n}$のように変わります。 -- 前野?
- それはつまり、$A(-i\hbar{\partial \over\partial p})\to A(i\hbar{\partial\over\partial p})$という置き換えです。 -- 前野?
- なるほど！そういうことでしたか！ありがとうございました。 -- ふじまる?
P152式(7.43)について †
ふじまる? (2019-08-25 (日) 16:51:55)
P152式(7.43)の積分の中に出てくる被積分関数がψ(p,t)となるのはなぜですか？別の関数Ψ(p,t)ではないのですか？
- $\psi(p,t)$は$\psi(x,t)$をフーリエ変換した関数で、同じ文字$\psi$を使ってますが$\psi(x,t)$と$\psi(p,t)$は別の関数です。 -- 前野?
運動量の期待値 †
ふじまる? (2019-08-25 (日) 16:48:41)
P１０９の運動量の期待値を計算するところで、P１１１の式（５.２０）では運動量hバーの運動量をも持つ確率が(F1)*F1、運動量２hバーの運動量をも持つ確率が(F2)*F2、運動量3hバーの運動量をも持つ確率が(F3)*F3、とありますが、これは物理的な解釈、つまり要請ですか？P126式（6,23)についても同様です。
- 要請されているのは「$\int\psi^*\psi\mathrm dx$が状態$\psi$の実現確率に比例する」ということで、(5.20)に現れる$F_1^*F_1$は、運動量が$\hbar$である波動関数に対して$\int\psi^*\psi\mathrm dx$を計算した結果です。 -- 前野?
P48 †
夏? (2019-07-10 (水) 23:34:59)
(2.28)の上の行の内側を通る波と外側を通る波の振動数は等しいと書いてありますが、なぜですか？
- 頭の中で47ページの波を動かしてみてください。振動数が違ったら不連続になってしまいます。 -- 前野?
p272 角運動量の同時固有状態 †
後野? (2019-06-29 (土) 12:19:22)
P272の†³¹でLx,Ly,Lzの同時固有状態が存在するとありますが、それはp171の不確定関係に反するのではないでしょうか。
- この状態はｐ１７１に書いてある「ただし問い8-3に示す例外を除く」の例外に該当します。 -- 前野?
- $[L_x,L_y]=\mathrm i\hbar L_z$（右辺は数ではなく演算子であることに注意）なので、$L_z$の固有値が０である状態であれば、$L_x,L_y$の同時固有状態になってもいいわけです。 -- 前野?
- なるほど。よくわかりました。 -- 後野?
p199での計算や変数分離の解法について †
電子期待? (2019-06-26 (水) 15:53:34)
p199の10.4式で$\frac{d}{dx}\frac{\psi_1}{\psi_2}$となっていますが、その前の式の$\psi_2\frac{d\psi_1}{dx}-\psi_1\frac{d\psi_2}{dx}=0$は「任意の」$x$で成り立ちます。なので、波動関数が0となるような$x$（節）があるような場合がこの計算から漏れてしまうのではないかと思ってしまいます。この種の計算をする時にいつも疑問に思うのですが、偏微分方程式を変数分離で解く時にも、両辺を関数で割ると言ったことをよくやりますが、微分方程式なので関数の定義域内の全ての値で成り立たなくてはいけないのにも関わらず、このように関数を分母に持ってくることができるのは何故なのかが疑問です。何か勘違いをしていると思うのですがそれが分かりません。
- 前野先生ではないですが、返信が来ていないので、コメントしておきます。𝝍₁/𝝍₂が𝝍₂≠0で成立しているなら、𝝍₂≠0の区間でで𝝍₂は𝝍₁の定数倍ということが分かります。𝝍₂＝0の場所が無限個ならまずいと感じますが、せいぜい有限個だとすると、𝝍₁の連続性から𝝍₂が0のところでは𝝍₁も0になると言えるのではないでしょうか。つまりどこでも𝝍₂は𝝍₁として良いと思います。 -- 後野?
- 前野先生ではないですが、返信が来ていないので、コメントしておきます。𝝍₁/𝝍₂が𝝍₂≠0で成立しているなら、𝝍₂≠0の区間でで𝝍₂は𝝍₁の定数倍ということが分かります。𝝍₂＝0の場所が無限個ならまずいと感じますが、せいぜい有限個だとすると、𝝍₁の連続性から𝝍₂が0のところでは𝝍₁も0になると言えるのではないでしょうか。つまりどこでも𝝍₂は𝝍₁として良いと思います。 -- 後野?
- 𝝍₂は𝝍₁の定数倍として良いと思います。 -- 後野?
- 返事が遅れてすみません。まず注意しておくべきことは、$\psi$と${\mathrm d\psi\over \mathrm dx}$は連続な関数でなくてはいけないということです。でないと、シュレーディンガー方程式の解でなくなります。これが一つの前提です。 -- 前野?
- 今はすべての領域で$\psi_1=C\psi_2$であることを証明したいわけですが、心配なのは$\psi_1=0$である点が何個かあったときだと思います。まず0になる点が両端となるある領域で（本に書いてあるように）$\psi_1=C\psi_2$を証明します。すると、$\psi_2$は連続な関数なので、その領域の両端（$\psi_1=0$な点）では$\psi_2=0$にならなくてはいけません。よって$\psi_1$と$\psi_2$の０点は一致し、０点に挟まれた領域のなかで領域ごとに$\psi_1=C\psi_2$が成り立ちます。 -- 前野?
- 次に心配になるのは「考えているそれぞれの領域ごとに$C$が違ったら？」という点だと思います（領域$x_1<x<x_2$では$\psi_1=C_1\psi_2$で、領域$x_2<x<x_3$では$\psi_1=C_2\psi_2$、のように）。しかしそうなっていたら、${\mathrm d\psi_1\over\mathrm dx}$か${\mathrm d\psi_2\over\mathrm dx}$か、どちらかが不連続になり、前提に反します。 -- 前野?
デカルト座標系は特殊な座標系か †
後野? (2019-06-10 (月) 13:38:39)
(12.26)において、極座標系のĤの一般化運動量をそのまま演算子に置き換えてはダメだと書いてあります。しかし、Ĥにデカルト座標系の運動量をそのまま演算子にして置き換えたものは正しい結果を与えます。この原因はデカルト座標系がなにか特別だからなのですか。
- 何が特別かというのは（本にも一部書いてありますが）積分が素直（積分要素がdxdydzですが、曲線座標ではそうはいかない）ということが特別といえるでしょうね。 -- 前野?
![[PukiWiki]](image/pukiwiki.png "[PukiWiki]")
