「よくわかる量子力学」（東京図書）サポート掲示板 †
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運動量表示(続) †
Yoshitake? (2020-07-03 (金) 10:23:55)
すみません、もう一点追加で質問させてください。
p82ではアインシュタインとドブロイの関係式から、波動関数をxで微分して$-i\hbar$をかけると運動量が出てくると考えて
$p\psi = -i\hbar \frac{\partial}{\partial x}\psi$と置き換えていると思うのですが、これと、下の$\hat{p}|x\rangle = i\hbar \frac{\partial}{\partial x}|x\rangle$の関係はどのようになっているのでしょうか？一見すると符号が逆になっていると思うのですが。
- 符号は逆にはなってません。本にも書いてありますが、$\psi(x)=\left<x\big|\psi\right>$で、$\hat p$を微分に置き換えたときの微分は、$\left<x\right|$に掛かります。 -- 前野?
- ありがとうございます。すっきりしました。$\hat{p}\psi(x) = \hat{p}\langle x|\psi\rangle = \langle x|\hat{p}^\dagger|\psi\rangle = \langle x|\hat{p}|\psi\rangle = -i\hbar \frac{\partial}{\partial x}|\psi\rangle$ということですね。 -- Yoshitake?
- もう一つ、$\hat{p}|x\rangle = i\hbar \frac{\partial}{\partial x}|x\rangle$の関係式は位置が定まった状態ベクトル$|x\rangle$ではない、一般の状態ベクトル$|\psi\rangle$では成り立たない、ということで正しいでしょうか？つまり、$\hat{p}|\psi\rangle = i\hbar \frac{\partial}{\partial x}|\psi\rangle$は一般には正しくないということでよろしいでしょうか？ -- Yoshitake?
- それですっきりしちゃだめです。 $\hat p\psi(x)$も、$\hat p\left<x\big|\psi\right>$も、おかしい式です。演算子はブラかケットに掛かるもので、ブラケットの外には掛かりません。 -- 前野?
- $\left|\psi\right>$というのは列ベクトルのようなもの（ブラの方は行ベクトルのようなもの）で、演算子は行列のようなものです。ブラとケットで内積を取ったあとで演算子を掛けるのは、変な計算だし、当然$\hat p\left<x\big|\psi\right>=\left<x\big|\hat p\big|\psi\right>$は成り立ちません。 -- 前野?
- $\hat p\left|\psi\right>=i\hbar{\partial\over\partial x}\left|\psi\right>$は、「一般的には」どころか、「どっからどうみても正しくない式」です。そもそも$\left|\psi\right>$は$x$の関数じゃないのに、$x$で微分している意味がわかりませんし（無理やり微分するとしたら０かな？） -- 前野?
- もちろん、$\hat p\left|\psi\right>$は０でない一つの状態ベクトルです。ブラとケットがベクトルで、間に入る$\hat p$が演算子であるという意味がわかってないのではないかと思われます。 -- 前野?
- すみません、基本的なことが分かっていなかったです。 -- Yoshitake?
- 元々の質問ですが、結局、p158の$\langle x|\hat{p} = -i\hbar \frac{\partial}{\partial x}\langle x|$の両辺に$|\psi\rangle$をかけて、これが特に$\hat{p}$の固有関数になっている場合に、p82の$p\psi(x) = -i\hbar \frac{\partial}{\partial x}\psi(x)$が出てくる、ということなんですね(?)。 -- Yoshitake?
- ↑「固有関数」ではなくて「固有ケット」の間違いです -- Yoshitake?
- もう一つ別のことをお聞きしたいのですが、p117で$\left(\frac{\partial}{\partial x}\right)^\dagger = -\frac{\partial}{\partial x}$となっていますよね。それで、p158の式(7.74)式$\langle x|\hat{p} = -i\hbar \frac{\partial}{\partial x}\langle x|$の両辺の$\dagger$をとると、左辺は$\hat{p} |x\rangle$となるのは良いのですが、右辺は、$i$と$\frac{\partial}{\partial x}$の符号がひっくり返って$-i\hbar \frac{\partial}{\partial x}|x\rangle$になってしまうのではないかと思ってしまったのですが、どこがおかしいのでしょうか？(何度もすみません・・・) -- Yoshitake?
- 「これが特に$\hat p$の固有ケットになっている場合に」→固有ケット(になっている必要はありません。$\psi$がどんな状態でも、$x$表示では$\hat p$は$-i\hbar{\partial \over \partial x}$です。-- 前野?
- p117は「$\psi^*(x)=\left<\psi\big|x\right>$と$\psi(x)=\left<x\big|\psi\right>$を掛けて$x$積分」の間に${\partial \over \partial x}$を挟むという計算において、この微分がどっちに掛かるかによってどう変わるかという話をしてます。 -- 前野?
- それに対して${\partial\over\partial x}\left|x\right>$の共役が${\partial \over\partial x}\left|x\right>$だというときは、$x$の関数である$\left|x\right>$を微分してます。 -- 前野?
- 微分の定義に戻って考えると、${1\over \Delta x}\left(\left|x+\Delta x\right>-\left|x\right>\right)$というベクトルの共役を取っているだけです。結果は${1\over \Delta x}\left(\left<x+\Delta x\right|-\left<x\right|\right)$ -- 前野?
- p117でマイナスがついた理由は「部分積分をするから」です。ここでは部分積分の出番はありません。 -- 前野?
- もう一つ別のことをお聞きしたいのですが、p117で$\left(\frac{\partial}{\partial x}\right)^\dagger = -\frac{\partial}{\partial x}$となっていますよね。それで、p158の式(7.74)式$\langle x|\hat{p} = -i\hbar \frac{\partial}{\partial x}\langle x|$の両辺の$\dagger$をとると、左辺は$\hat{p} |x\rangle$となるのは良いのですが、右辺は、$i$と$\frac{\partial}{\partial x}$の符号がひっくり返って$-i\hbar \frac{\partial}{\partial x}|x\rangle$になってしまうのではないかと思ってしまったのですが、どこがおかしいのでしょうか？(何度もすみません・・・) -- Yoshitake?
- ↑すみません、間違いです -- Yoshitake?
- 「固有ケットになっている場合に」と書いたのは、$\langle x|\hat{p} = -i\hbar \frac{\partial}{\partial x}\langle x|$の両辺に$|\psi\rangle$をかけて、$\langle x|\hat{p}|\psi\rangle = -i\hbar \frac{\partial}{\partial x}\psi(x)|$となり、左辺は$|\psi\rangle$が$\hat{p}$の固有関数になっている場合に限り$\langle x|\hat{p}|\psi\rangle=\langle x|p\psi\rangle = p\psi(x)$になってp82の式に一致する(p82では$\psi(x)$は$\mr{e}^{2\pi i \left(x/\lambda - \nu t\right)}$で$p=h/\lambda$です)、と思ったからです。 -- Yoshitake?
- $\frac{\partial}{\partial x}$の共役についてはおかげさまで理解できました。ありがとうございます。 -- Yoshitake?
- $\left<x\right|\hat p=-i\hbar{\partial\over \partial x}\left<x\right|$という式は、後ろに何も来なくても（あるいは$\left|x'\right>$が来ようが$\left|p\right>$が来ようが$\left|\psi\right>$が来ようが）関係なく成り立つ式です。固有関数に限る必要はありません。 -- 前野?
- はい、理解できました。ありがとうございました。 -- Yoshitake?
- はい、理解できました。ありがとうございました。 -- Yoshitake?
運動量表示 †
Yoshitake? (2020-07-03 (金) 10:00:16)
p159 p-表示の【補足】のところで
演算子$\hat{p}$をx-表示すると
$\hat{p}|x\rangle = i\hbar \frac{\partial}{\partial x}|x\rangle$
あるいは
$\langle x|\hat{p} = -i\hbar \frac{\partial}{\partial x}|x\rangle$
と書けるということですが、そうすると、教科書などによく書いてある、
「運動量演算子の座標表示は$\hat{p} = -i\hbar \frac{\partial}{\partial x}$である」といった文言は、厳密には意味がはっきりしていなくて(期待値などの計算をするうえでは単に$\hat{p}\rightarrow -i\hbar \frac{\partial}{\partial x}$に置き換えればよい、くらいの意味しかなくて)、より正確には「運動量演算子の座標表示は、$|x\rangle$に左から作用するとき$\hat{p}=i\hbar \frac{\partial}{\partial x}$であり、$\langle x|$に右から作用するとき$\hat{p} = -i\hbar \frac{\partial}{\partial x}|x\rangle$である」とするのが正しい、という理解でよいでしょうか？
同じことをくどくど繰り返してしまっているようですが、これまで特に考えもせず$\hat{p}\rightarrow -i\hbar \frac{\partial}{\partial x}$に置き換えていたために、運動量表示のところで頭が混乱してしまい、質問させていただきました。
- 本に書いてあるとおりで、$\hat p$が$\left<x\right|$に掛かるなら$-\mathrm i\hbar{\partial \over\partial x}$、$\left|x\right>$に掛かるなら$\mathrm i\hbar{\partial \over\partial x}$です。多くの本で$-\mathrm i\hbar{\partial\over\partial x}$だけが書いてあるのは、掛かる相手が$\left<x\big|\psi\right>=\psi(x)$だからです。 -- 前野?
- 掛かる相手がいつでも$\psi(x)$で、「掛かる」というのが$\left<x\big|\hat p\big|\psi\right>$という結果なのなら、安心して$\hat p\to -\mathrm i\hbar{\partial\over\partial x}$と置き換えて構いません。 -- 前野?
無題 †
Yoshitake? (2020-07-02 (木) 09:02:55)
P229-230 エルミート多項式の計算のところで
p229で導いた漸化式
$a_{n-2} = -\frac{n(n-1)}{4}a_n$
を使って$H_4$を計算しようとすると、
まず$a_4 = 2^4=16$とすると、$a_2 = -\frac{4(4-1)}{4}16 = -48$となり、次に$a_0 = -\frac{2(2-1)}{4}(-48) = 24$
となってしまいます。本文中では$a_0=12$となっていて、他の文献を見ても$a_0=12$となっているのですが、どこがおかしいのでしょうか？
- ああ、これは確かに我ながら説明が悪いですね。(11.20)で$n-2$次までを書いてますが、たとえば$n-4$次を書くと$(n-2)(n-3)a_{n-2}\xi^{n-4}-2(n-4)a_{n-4}\xi^{n-4}+2\lambda a_{n-4}\xi^{n-4}=0$となります。 -- 前野?
- 最後の$\lambda$は$n$になるので、$(n-2)(n-3)a_{n-2}\xi^{n-4}-2(n-4)a_{n-4}\xi^{n-4}+2n a_{n-4}\xi^{n-4}=0$です。 -- 前野?
- つまり、最後の$n$だけは次数を下げていくときに一緒に下がっていかないわけです。 -- 前野?
- もともと$\lambda$だった$n$は最初の微分方程式についていた「定数」ですが、それ以外の$n$は$\xi$の次数から来てます（出自が違うわけです）。 -- 前野?
- なるほど、計算が合いました。ご丁寧にありがとうございます。 -- Yoshitake?
無題 †
Yamamoto? (2020-06-28 (日) 11:18:43)
付録F 21w
F.35とF.36式の間
の積分式にdxが抜けている様です
- 抜けてます、すみません。訂正しておきます。 -- 前野?
間違い箇所？ †
Yamamoto? (2020-06-26 (金) 22:23:05)
よくわかる量子力学第8刷
P353 D.35式
eの肩
i → -i
ではないでしょうか？
- すいません、たしかにここは$-i$です。 -- 前野?
- 今サポートページ見たらこの間違い、発見されていたのに訂正漏れだったようです。次で訂正してもらいます。 -- 前野?
練習問題12-12の解答について †
山下 実? (2020-06-25 (木) 18:40:19)
p364及びp365の符号について
p364の最後の行$$-2/ξ**2(1/ξ-d/dξ）$$
p365 2行目 $$2ξ(d2/dξ2+1)-2α(1/ξ-d/dξ）$$
6行目 $$2/ξ*l(l+1)-2α(1/ξ-d/dξ)=2α*d/dξ+2(l(l+1)-α)1/ξ$$
ではないでしょうか。
- p364の最後の行は、手持ちのファイルでは${2\over\xi^2}\left(-{1\over\xi}+{\mathrm d\over\mathrm d\xi}\right)$となってます。ですから御指摘の式でOKです。 -- 前野?
- p365の２行目も、手元のファイルでは$2\xi\left({\mathrm d^2\over\mathrm d\xi^2}+1\right)+2\alpha\left(-{1\over\xi}+{\mathrm d\over\mathrm d\xi}\right)$ですので、御指摘の式と同じです。 -- 前野?
- 最後の式もあってます。 -- 前野?
- サポートページにある修正リストの方を参照してください。 -- 前野?
演習問題11-2回答について †
山下 実? (2020-06-18 (木) 12:10:25)
神戸大学経済学部卒業で、67歳になりますが、退職後趣味で物理を勉強しています。
むつかしいですが丁寧に計算式を記載していただいているので理解しやすいです。
「係数を比較すると」の後の数式左辺でtのn乗及びn!は不要ではないでしょうか。
- すいません、たしかにこの２つは不要です。 -- 前野?
式(6.23)について †
草間崇夫? (2020-05-16 (土) 17:21:28)
積分範囲が一周期と考えると∫ψm・ψn dx=Lとなり最後の行には周期Lが掛かると思うのですが。どうか宜しくお願いします。
- この$\psi$は$\int\psi^*_m \psi_n \mathrm dx=\delta_{mn}$と規格化されていると思ってください。 -- 前野?
- ありがとうございました。 -- 草間崇夫?
間違い箇所？ †
Yamamoto? (2020-05-06 (水) 22:33:06)
よくわかる量子力学第8刷 下記箇所に間違いがあるのではないかと思います
P319 A.7式の第二項
P329 A-41式の符号
- p319については、$\partial_x V$は${\partial V\over\partial x}$の省略記法なのですが、ここだけ省略する意味もあまりないので、次の版から${\partial V\over\partial x}$に直したいと思います。 -- 前野?
- p329は、(A.41)ではなく、その２行上の$\left(-{\partial^2 H(x,p)\over \partial p^2}\delta p\delta t , \delta p+{\partial^2 H(x,p)\over \partial p\partial x}\delta p\delta t \right)$が正しくは$\left({\partial^2 H(x,p)\over \partial p^2}\delta p\delta t , \delta p-{\partial^2 H(x,p)\over \partial p\partial x}\delta p\delta t \right)$でした。 -- 前野?
P334(B.3)について †
(2020-04-07 (火) 00:09:59)
P334(B.3)のフーリエ変換の説明において、計算過程で登場した定積分がディラックのデルタとなっていて2Lを乗じ忘れているように思えました。既にご存知である、もしくは私の間違いでしたらすみません
- すみません、クロネッカーのデルタでした --
- ああ、ほんとだすみません。横になった｝の下のは、$=2L\delta_{mn}$です。 -- 前野?
P170 問い8-2について †
大学生? (2020-03-13 (金) 21:48:24)
P170の練習問題(問い8-2)について質問です。
ヒントにpψ=ikxψとありますが、これはどこからくるものなのですか？
- 計算しようとしている式は$\psi_1-ik\psi_2=0$で、$\psi_1=p\psi,\psi_2=x\psi$です。今$<x>=<p>=0$であることに注意。 -- 前野?
- わかりました、ありがとうございます！ -- 大学生?
問い１２－１ †
(2020-01-09 (木) 23:24:27)
前野様
お世話になっております。
P.263の練習問題【問１２－１】について質問です。
問１２－１において、（１２．５０）をひっくり返してL=-p×xを計算するとすべて消えて０になってしまい、（１２．５０）と一致しません。
どうすればひっくりかえした結果を（１２．５０）と同じ形にできるのでしょうか
- p120のFAQを読んでください。ここで考えているのは演算子なので、「さらにこの後ろに任意の関数がある」と思って計算しなくてはいけません。 -- 前野?
- すみません、見落としておりました。ありがとうございます！ -- 問１２－１?
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