「よくわかる解析力学」（東京図書）サポート掲示板 †
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P80 †
まろ? (2023-03-06 (月) 22:30:34)
先生の参考書で勉強させていただいてます。
P80の(3.76)(3.77)(3.78)についてですが、体積積分において変分や部分積分を取っているのですが実際にはどのように計算されているのでしょうか？1次元の積分なら分かるのですが、表面項などが消えているので体積積分ではどのようになるのか気になってしまいました。
- 体積積分でも、変分でやっていることは、関数が$f$の場合と$f+\delta f$の場合の差を取るという計算で、同じです。$\delta f$の2次以上は無視するところも同じ。 -- 前野?
- 体積積分でも、変分でやっていることは、関数が$f$の場合と$f+\delta f$の場合の差を取るという計算で、同じです。$\delta f$の2次以上は無視するところも同じ。 -- 前野?
p199について †
こめお? (2023-03-04 (土) 13:11:58)
p199の中盤に関する質問です。
「この場合、『x(tf)+δx(tf)』は、〜〜」の説明での『』中のx(tf)というのは、右図の黒線のt=tfにおける位置xfを表し、
(8.24)式左辺のx(tf)は灰色の線のt=tfにおける位置を表している、という解釈であってますか？
- $x(t_f)$は$x_f$なので、$x(t_f)$は右の図の図中の黒線の$t=t_f$における位置です。 -- 前野?
- (8.24)の左辺の$x(t_f)$も同じで、図中の黒線の$t=t_f$での位置、つまり$x_f$です。これは、変化させた後の新しい関数$x(t)+\delta x(t)$の$t=t_f+\epsilon$での値でもある、というのが8.24式で書いていることです。 -- 前野?
- お返事ありがとうございます。なるほど、つまり、8.24右辺のδx(tf+ε)は0、という解釈でよろしいでしょうか。 -- こめお?
- $x(t)$や$\delta x(t)$は$t=t_f$より先の値は決めてない（時刻$t_f$までしか決めてない）です。$x(t)+\delta x(t)$という関数は、時刻$t_f+\episilon$まで定義されてます。なので、$\delta x(t_f+\epsilon)$だけを取り出しては0か、と聞かれると少し微妙ですね（そう考えてもよさそうではありますが）。右辺はあくまで$x(t)+\delta x(t)$という関数の$t=t_f+\epsilon$での値、と考えた方がよいかと思います。 -- 前野?
- 納得できました。ありがとうございました！ -- こめお?
p245のヤコビアンについて †
マータン? (2023-02-26 (日) 11:13:17)
qp座標は直交座標で、QP座標は任意座標として、正準変換で位相平面の微小面積が変わらないことを示すならば、dqdp=JdQdPでJ=∂(q,p)/∂(Q,P)となり、これが1になるので、ヤコビアンがポアソン括弧と一致しなくなると考えてしまいました。どこを勘違いしているのかが分かりません。どうか宜しくお願いいたします。
- 「ヤコビアンがポアソン括弧と一致しなくなる」というのは何を見て判断しているのでしょう？J=1で｛Q,P｝=1なので一致してますが。 -- 前野?
p.88,89の記述について †
A.C? (2023-02-20 (月) 18:47:01)
「無限個の連立方程式」とありますが、これがオイラー・ラグランジュ方程式に繋がる過程がよく分かりません。どういう意味なのでしょうか？
- (4.8)は無限個ある$\vec x(t_1)$から$\vec x(t_N)$のどれで微分しても０という「無限個の連立方程式」です。オイラー・ラグランジュ方程式もやはり（(4.9)の場合で言えば）$x(t_0)$から$x(t_1)$までの「どれで微分しても０」という無限個の連立方程式なので、(4.8)はオイラー・ラグランジュ方程式の形で書けるんじゃなかろうか、という繋がりです。繋がりというよりは同じものなわけですが。 -- 前野?
- 返信ありがとうございます。 -- A.C?
- 追加で質問なのですが、p.88での, -- A.C?
- すいません。誤送してしまいました。p.88での「なにか」があらゆる時刻のxを含むのは経路そのものを -- A.C?
- 経路そのものを考えているからということで間違いないでしょうか。 -- A.C?
- 考えているもの（つまり変化させる変数にあたるもの）は経路そのものです。実際に「なにか」に当たるものは、ラグランジアンの積分＝作用ということになります。そして、作用は経路によって決まる量です。 -- 前野?
- 理解できました。ありがとうございます。 -- A.C?
P324の9行目の記載内容について †
マータン? (2023-02-15 (水) 19:44:18)
ヤコビアンはdxexとdyeyが作る面積と、dXeXとdYeYの作る面積の比と書かれていますが、前者の面積はdxdyなので比にはならない気がするのですが。どうか宜しくお願いします。
- 疑問に感じているのは、比だというのなら（B.28）の右辺をdXdYで割った結果ではなくdxdyで割るべきなのでは、ということですね。 -- 前野?
- そういう疑問でしたら、ここでの（括弧つきの）「比」というのは、割と大雑把な意味をもたせていて、dxdyやdXdYを除いた係数部分の「比」だと思ってください。より正確に書くなら、「$\mathrm dx\vec{\mathbf e}_x$と$\mathrm dy\vec{\mathbf e}_y$の作る面積の$\mathrm dx\mathrm dy$の前の係数と、$\mathrm dX\vec{\mathbf e}_X$と$\mathrm dY\vec{\mathbf e}_Y$の作る面積の$\mathrm dX\mathrm dY$の前の係数の比である」となります。書き方が雑だったかもしれません。 -- 前野?
- 納得出来ました。ありがとうございました。 -- マータン?
- 納得出来ました。ありがとうございました。 -- マータン?
p72 3.51式 †
モグラ? (2023-02-09 (木) 13:20:08)
すみません、3.51式でなぜシグマが出るのか教えていただきたいです。あと添字のiとjになにか対応関係ってありますか？
この辺の議論がよく分からないのですが、付録を先に読んだ方が理解しやすい場合、どのあたりを読むべきかも教えていただきたいです。
- 省略形を使わずに２変数の場合で書くと、左辺のUは$U(q_1,q_2)$、右辺のUは$U(Q_1(q_1,q_2),Q_2(q_1,q_2))$です。これを$q_1$で微分するとどうなるかを考えてみてください。 -- 前野?
- ${\partial U(Q_1,Q_2)\over \partial Q_1}{\partial Q_1\over\partial q_1}+{\partial U(Q_1,Q_2)\over \partial Q_2}{\partial Q_2\over\partial q_1}$となります。これをΣ記号を使って表していると思ってください。当然iとjには対応関係はありません。 -- 前野?
- 理解できました。ありがとうございました。 -- モグラ?
p92 (4.16)あたりについて †
こめお? (2022-12-25 (日) 11:00:06)
(4.16)の2行上から1行上への式変形はどのようにしたのでしょうか。単に第一項の二乗を展開したのですか？ だとしても、絶対値が付いているのにそんなことをしていいのか疑問です。
- すみません。ベクトルの絶対値の2乗の展開公式を使ったのですね。わかりました。ありがとうございました。 -- こめお?
- すみません。ベクトルの絶対値の2乗の展開公式を使ったのですね。わかりました。ありがとうございました。 -- こめお?
p91 (4.12)について †
こめお? (2022-12-23 (金) 16:24:53)
(4.12)あたりで何をやっているのかが分からなくなってしまいました。なぜ、(4.12)になるようにしたいのでしょうか？
- 上に書いてある、「何を変分したら$-m{\mathrm d^2\vec x\over \mathrm dt^2}x(t)\cdot \delta \vec x$が出てくるか？」というのを数式にしただけです。 -- 前野?
- 変分してこれが出てくれば、「任意の$\delta \vec x(t)$に対して変分が０」という条件から運動方程式が出てきます。 -- 前野?
- ここでやっているのは\(4.6)に書いてある「なにか」を作りたいという試行錯誤です。 -- 前野?
- 分かりました。ありがとうございました。 -- こめお?
p77 3.62の積分 †
化学徒? (2022-12-05 (月) 13:22:42)
基礎的な質問なのですが、(3.62)の両辺にy'/yをかけて積分するとなぜ3.63のような式が出るのかわかりません。第2項目と積分定数についてはなんとなくわかるのですが、どのように一項目の-1/2y^2が出るのでしょうか？
- ${1\over y^2}$に${y'\over y}$を掛けると${y'\over y^3}$になります。これは$-{1\over 2y^2}$を$x$で微分したものです。 -- 前野?
- 理解しました。ありがとうございました。 -- 化学徒?
とても軽微な誤記 †
R8xt*$P!y9BC6DvP? (2022-10-26 (水) 14:18:14)
p.327 の注釈 7 で「『未定乗数』と書き間違える人がたまにいるが、」とありますが、鉤括弧内が正しい表記になっていて書き間違えていません。注釈のその後の文との整合性を考えると「『未定常数』と書き間違える人がたまにいるが、」が意図された内容なのではないかと思いました。
- ありがとうございます。この脚注には２回「未定乗数」という言葉が出てきますが、実は古い版では両方が「未定常数」になってました。で、「２つ目の未定常数は未定乗数になおしてください」とお願いしたところ、なぜか両方「未定乗数」になってしまったようです。また次で（今度は間違えないように）修正します。 -- 前野?
p196の（8.16）について †
Jun? (2022-09-07 (水) 21:07:20)
ふと疑問に思ったのですが、ポテンシャルが並進不変の形であることから運動量保存則が導かれ、また作用·反作用の法則が導かれるとのことですが、摩擦力のようにポテンシャルを導けないけども、作用·反作用の法則を満たすような力はどのようにして考えれば良いでしょうか。ポテンシャルが定義できるという前提なのでしょうか？
- 摩擦は解析力学では扱えないと思って下さい。 -- 前野?
- 返信ありがとうございます。非勾配力はその時点で解析力学の範囲から外れると言ってしまって良いでしょうか。 -- Jun?
- 束縛力も非勾配力ですが、ラグランジュ未定乗数の形で入れられます。 -- 前野?
- そうなると、摩擦力は振り子でいう紐の長さといった、拘束条件が見当たらないから扱いづらいということでしょうか。では、物体を引くことによって生じた摩擦力によって、地球が動くことまで考慮にいれて（ある種運動量保存の結果を先取りしている気がしますが）重心速度が一定（もしくは不変）という拘束条件が置けるような気がするのですが、一般には成立しないということでしょうか。 -- Jun?
- 成立しないわけじゃなく、ラグランジュ形式にははまらないというだけです。 -- 前野?
- 返信ありがとうございます。未定乗数とる以前の問題ということでしょうか。では結局のところ摩擦力がラグランジュ形式で表すことが出来ない原因とは何でしょうか -- Jun?
- 最初に書いてあるとおり、ポテンシャルを導けないからです。束縛力は対応するポテンシャルはないけど、未定乗数で表せられるから入れられる。 -- 前野?
- 返信ありがとうございます。未定乗数含め、理解が深まった気がします。本当にありがとうございました。 -- Jun?
P204 演習問題8-3の(8.49)について †
Shogo? (2022-08-21 (日) 14:52:04)
(8.49)の導出を教えていただきたいです。8.5ではεを角速度ベクトルのようにみて微小変位と結びつけてパラメータの微小変化を分解していましたが、剛体に固定されたframeの回転の場合はεを何と見ることで(8.49)を導出しているのでしょうか？
- $\epsilon_x,\epsilon_y,\epsilon_z$の意味は（あとで角運動量ベクトルと結びつくことからわかるように）剛体に固定された軸ではなく空間軸$x,y,z$それぞれの周りの微小回転のパラメータであることは同じです。その意味については、ヒントの後半部分に少しだけ書いてあります（パラメータのとり方がちょっと極座標とは違うけど、軸回りの回転を表すパラメータであるには違いない）。 導出の簡単な方法は実は、解答（角運動量の$x,y,z$成分が出てくること）からの逆算です。 -- 前野?
- 図形でどんなｘｙｚの回転がどうなっているかを考えてもでてくるはずですが、説明結構面倒そうです（前にやったことはあるんですがそのメモが出てこない）。 -- 前野?
- わりと簡単に理解できる$\epsilon_{x,y,z}$と$\delta\phi,\delta\theta,\delta\psi$の関係について書いておくと、(8.49)の逆関係として、$ \epsilon_x = \delta \theta \cos \phi +\sin \theta \sin \phi\delta \psi, \epsilon_y = \delta \theta \sin \phi -\sin \theta \cos \phi\delta \psi, \epsilon_z =\delta\phi +\cos \theta \delta\psi$という式があります。 -- 前野?
- この最後の$\epsilon_z =\delta\phi +\cos \theta \delta\psi$は、オイラー角による$z$軸回りの回転が$\phi$の変化と$\psi$の変化$\times \cos\theta$で得られることを示してます。$\phi$の変化が$z$軸回りの回転を生むことはすぐにわかると思います（オイラー角の図を見てください）。$\psi$の変化はもともとの$z$軸から$\theta$傾いた軸の回転になるので、$\cos\theta$が掛かっています。 -- 前野?
- 残念ながら$\epsilon_x,\epsilon_y$の方の説明が単純ではないですが、$\phi=0$の場合、$\phi={\pi\over2}$の場合などを順に考えていくとこの形になるのが理解できるかと思います。 -- 前野?
- 早速のご返信ありがとうございます。よく理解できました。 -- Shogo?
p224の（q,p+δp）のδtにおける位置の変化について †
Jun? (2022-06-18 (土) 09:40:46)
p+δpのδtの変化ですが、本ではハミルトニアン（δpδtが掛かっている方）の偏微分がqの後pになっていますが、pの後qではないでしょうか。mathjaxの使い方が分からずこのような質問の書き方になりましたが、お願いします。
- よくよく考えてみればこの場合の偏微分は交換しますね。お騒がせしました -- Jun?
第４章 †
SH? (2022-05-25 (水) 10:06:41)
P91のFAQの下の行
- grad(なにか)の「なにか」を求めるのに、なぜ「なにを変分したら-md²x/dt²(t)・δx(t)が出てくるか」を考えるのですか？
最終的なS試({x(＊)})は(4.19)だと思うのですが、(4.18)でLとU(x)が出てくるのはなぜでしょうか。
- gradは微分。微分と変分は言葉は違いますが、「ある量を変化させたときにその量に依存する量がどう変化するか」を求めているという意味では、同じ計算です。 -- 前野?
- (4.18)の時間積分が(4.19)、逆にいえば求めたS試である(4.19)は(4.18)という量の時間積分になっているということを示してます。 -- 前野?
- (1)出てくるようにしたいのが『-md²x/dt²(t)・δx(t)』である理由はなんですか。(2)(4.18)の「直前の結果を整理すると」について、p91-93で運動エネルギーにしか触れてないのに、急にLやU(x)が出てくる理由は何でしょうか。 -- SH?
- ああ、Uが出てきたことに関する質問だったんですね。Uに関しては普通の微分で${\mathrm dU\over \mathrm dx}$が出てくるのは(4.5)のあたりでわかっていたので、これにさらに$m{\mathrm d^2 x\over\mathrm dt^2}$も出てくるようにするにはどうすればいいのかな、 -- 前野?
- (4.6)から後の話です。 -- 前野?
- P93の(4.19)から(4.20)が導かれる計算過程を教えていただきたいです。 -- SH?
- オイラー・ラグランジュ方程式そのまんまです。 -- 前野?
- 理解できました。ありがとうございました。 -- SH?
微分の計算について †
大学一年生? (2022-03-29 (火) 03:09:55)
巻末の数学的知識の解説のお陰もあり本書はあまり問題無く読み進められているのですが、もっと初歩的な部分で自分の理解が足りていないと感じたのでこちらにご質問させていただきます。
$f(x(t), t) =X(x(t)) + T(t)$ とするとき、
$$\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x} = \displaystyle\frac{\partial X}{\partial x}, \, \displaystyle\frac{\partial f}{\partial t} = \displaystyle\frac{\partial T}{\partial t},$$
$$\displaystyle\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} t} = \displaystyle\frac{\partial X}{\partial x} \, \displaystyle\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} + \displaystyle\frac{\partial T}{\partial t}$$
であり、$\displaystyle\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} x}$ というものない（そのような量を考えることはない）、という理解は合っていますでしょうか。
同様に、$g(x(t), t) =X(x(t)) \, T(t)$ であった場合には
$$\displaystyle\frac{\partial g}{\partial x} =\displaystyle\frac{\partial X}{\partial x} \, T(t) = \displaystyle\frac{\mathrm{d} X}{\mathrm{d} x} \, T(t),$$
$$\displaystyle\frac{\partial g}{\partial t} =X(x(t)) \, \displaystyle\frac{\partial T}{\partial t} =X(x(t)) \, \displaystyle\frac{\mathrm{d} T}{\mathrm{d} t},$$
$$\displaystyle\frac{\mathrm{d} g}{\mathrm{d} t} =\displaystyle\frac{\mathrm{d} X}{\mathrm{d} t} \,T(x) +X(x(t)) \, \displaystyle\frac{\mathrm{d} T}{\mathrm{d} t} =\displaystyle\frac{\partial X}{\partial x} \, \displaystyle\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} \, T(t) +X(x(t)) \, \displaystyle\frac{\mathrm{d} T}{\mathrm{d} t}$$
であり、$\displaystyle\frac{\mathrm{d} g}{\mathrm{d} x}$ というものない（そのような量を考えることはない）ということでしょうか。
あるいは、$t \mapsto x(t)$ の逆写像 $x \mapsto t(x)$ を考えて
$$\displaystyle\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} x} = \displaystyle\frac{\mathrm{d} X}{\mathrm{d} x} + \displaystyle\frac{\mathrm{d} T}{\mathrm{d} t} \, \frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} x},$$
$$\displaystyle\frac{\mathrm{d} g}{\mathrm{d} x} = \displaystyle\frac{\mathrm{d} X}{\mathrm{d} x} \, T(t) +X(x(t)) \, \frac{\mathrm{d} T}{\mathrm{d} t} \, \frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} x}$$
のようにするのでしょうか。
また、これまで何冊か大学数学や物理の本を読んできて偏微分は（偏微分する変数以外を定数扱いするため例えば $X(x(t))$ を $t$ で偏微分するときに $x$ は $t$ の式として展開せずに「定数」 $x$ として扱うように）「中身の依存関係まで見に行かない」微分、（全）微分は（例えば $X(x(t))$ を $t$ で全微分するときに $x$ を $t$ の式として展開して微分したように）「中身の依存関係まで見に行く微分」というイメージを抱いているのですが、このような認識を持っていても大丈夫でしょうか。
このイメージのもとでは、上の例では（$t$ は $x$ に依存しない量であるため、$t$ を $x$ の式として展開できない、すなわち「中身まで見に行けない」ため）$\displaystyle\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} x}$ や $\displaystyle\frac{\mathrm{d} T}{\mathrm{d} x}$ などのような量は考えられないだろうと思いました。
初歩的かつ長い質問で申し訳ありませんが、ご回答いただけると大変幸いに存じます。よろしくお願いいたします。
- すみません。本文が長すぎたのかシステムのバグを踏んでしまったのか、（少なくともこちらの環境では）本文が正常に表示されていません。正しく表示された本文のスクリーンショットをこちらにアップロードいたしましたのでこちらで同じ内容をご確認いただけます（p の前の @ を外してください）。 htt@ps://imgur.com/GZhncrR -- 大学一年生?
- 最初に書いた $f$ の（偏/全）微分に含まれる $\displaystyle\frac{\partial X}{\partial x}$ や $\displaystyle\frac{\partial T}{\partial t}$ はそれぞれ $\displaystyle\frac{\mathrm{d} X}{\mathrm{d} x}, \, \displaystyle\frac{\mathrm{d} T}{\mathrm{d} t}$ のように書けます（直し忘れました）。 -- 大学一年生?
- まず厳密な立場で考えると、$f(x(t),t)$と書いたならそれはもう「$t$の関数」であって「$x,t$の関数」ではありませんから、「${\partial f\over\partial x}$を考えるのは無意味」です。${\partial f\over\partial x}$を考えるのは「$x=x(t)$を代入する前」の段階でのみです。 -- 前野?
- そういう意味で、この状況では「${\mathrm df\over\mathrm dx}$もなければ、${\partial f\over\partial x}$もない」というのが正しいです。 -- 前野?
- ただし、多くの場合「いったん$x$を$t$の関数ではないと考えて、計算終わったあとで$x=x(t)$を代入する」という操作を「暗黙のうちに」やっている場合が多々あります。その場合、「計算途中」として${\partial f\over\partial x}$が出現するわけです。 -- 前野?
- 偏微分は、「何と何を変数にしているか」を変えれば違う結果を出す計算なので、計算の途中で常に「今変数としているのはなにか？」を意識してないといけません。そういう意味で、$f(x(t),t)$と書いたら変数は$t$なので「$x$で微分（全微分も偏微分も）」はないわけです。ただ計算の途中経過として$f(x,t)$を考えることはあるので、あくまでその途中経過の中で「$x$で偏微分」が登場します。 -- 前野?
- なお、$f(x,t(x)$と書ける場合はそう書いてもいいけど、その場合は「$x$の関数」であって、「$t$で微分」はないです。しかし計算の途中経過では出てくることもある。 -- 前野?
- （記法の問題で誤解が生じやすいけれど）数学的には $f(x(t), t)$ という記法はまず $\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ の関数 $f(x, t)$ を考えて、後から $x$ と $t$ の関係を持ち出してきて二変数の定義域を $\mathbb{R}^2$ から曲線（変数が増えれば曲面など）$x = x(t)$ に制限している（そのため $L(x(t), \dot{x}(t))$ に対して定義域を $\mathbb{R}^n$ から制限しない段階で $\displaystyle\frac{\partial L}{\partial x}$ などを考えることができる）と考えてよろしいでしょうか。 -- 大学一年生?
- また、本来はきちんと明記するべきですが $\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}, \, \displaystyle\frac{\partial f}{\partial t}$ とあったら $x$ と $t$ の関係を代入する前の二変数関数 $f(x, t)$ について考えていて、$\displaystyle\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} t}$ とあったら $x = x(t)$ を代入して $t$ のみの関数になった $f(x(t), t)$（更に一変数関数らしく書けば $F(t) \equiv f(x(t), t)$ など）を考えていて、（あまり見ないかもしれないけど）$\displaystyle\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} x}$ とあったら $t = t(x)$ という逆対応を代入して $x$ のみの関数になった $f(x, t(x)) \ (\equiv G(x))$ を考えていると思えば誤解は無さそうだというわけですね。 -- 大学一年生?
- そして（$x \mapsto t(x)$ の逆対応が無いなどで）$f(x, t)$ を $x$ のみの関数にできない場合には $\displaystyle\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} x}$ をそもそも考えない（ただし偏微分の方は普通に二変数関数のままにして考えられる）ということですね。同じことの復唱のような感じで申し訳ありませんが、このような理解で問題ありませんでしょうか。悩んでいたことが晴れてすっきりしております。ありがとうございます。 -- 大学一年生?
- 「まず〜〜〜を考えて、後から〜」の部分は、別に後から気づくわけではなく$x$が$x(t)$なのは最初からわかっている場合もあるので必ずそうだとは限りませんが、理解としてはそれでいいと思います。また、本来はきちんと明記すべきところをさぼって省略してしまうことが多いのはおっしゃるとおりです。 -- 前野?
- 「まず」「後で」は実際にその間に時間差があるということではなく、比喩的に用いた表現でした。思考が整理されてとても感謝しております。ご回答ありがとうございました。 -- 大学一年生?
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