よくわかる解析力学サポート掲示板のバックアップ(No.93)

「よくわかる解析力学」（東京図書）サポート掲示板 †

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p１８０　ラグランジアンについて †

やま? $2024 - 01 - 16 (火$ 20:39:26)

2点（３点？）質問させていただきたいです。
・ $ω_{X}, ω_{Y}, ω_{Z}$ というのは角運動量ベクトルを慣性系から見て $e_{X}, e_{Y}, e_{Z}$ で展開したときの成分という解釈で良いでしょうか。
またこのときX系から見た角速度ベクトルというのはどうなるのでしょう
・ラグランジアンの変数を $ω_{X}, ω_{Y}, ω_{Z}$ として微分してはいけないのでしょうか。オイラーの運土方程式にもオイラー角は残っていませんしはじめから $ω_{X}, ω_{Y}, ω_{Z}$ で議論するというわけにはいかないのでしょうか？
よろしくお願いいたします。

$ω_{X, Y, Z}$ は角速度ベクトルの $X, Y, Z$ 成分です。 $\vec{ω} = ω_{X} {\vec{e}}_{x} + ω_{Y} {\vec{e}}_{Y} + ω_{Z} {\vec{e}}_{Z}$ ということでいいです。「慣性系から見た」という言葉の意味がよくわかんないです。 $\vec{ω}$ の形だったら座標系によりません。 $X, Y, Z$ という座標系は慣性系ではありません。 -- 前野? 2024-01-16 $火$ 21:31:06
$ω_{X, Y, Z}$ でラグランジアン書いてしまうと時間微分が入らないので運動方程式にならないと思います。 -- 前野? 2024-01-16 $火$ 21:34:19
2つ目についてもう少し質問させて下さい。 -- やま? 2024-01-16 $火$ 21:41:22
ではωを何かの時間微分とみなしてはいけないのでしょうか。自由粒子のラグランジアンと同じようなものになるような気がするのですが。よろしくお願い致します -- やま? 2024-01-16 $火$ 21:42:41
ではωを何かの時間微分とみなしてはいけないのでしょうか。自由粒子のラグランジアンと同じようなものになるような気がするのですが。よろしくお願い致します -- やま? 2024-01-16 $火$ 21:50:52
ではωを何かの時間微分とみなしてはいけないのでしょうか。自由粒子のラグランジアンと同じようなものになるような気がするのですが。よろしくお願い致します -- やま? 2024-01-16 $火$ 21:50:56
なぜか同じ質問が並んでしまいました、すいません -- やま? 2024-01-16 $火$ 21:51:49

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p276について †

お? $2023 - 09 - 02 (土$ 18:11:20)

2つ質問があります。
10.130に出てくる運動量px,pyとm $d x$ / $d t$ ,m $d y$ / $d t$ の違いは、全体の条件が入った運動量と磁場の影響を除いた運動量という認識で合っていますか？
また、10.127のラグラジアンで位置エネルギーになる部分（2項目）でF=-gradUで計算すると、ローレンツ力が1/2倍になってしまうのですが、10.127の2項目では何故1/2が付いているか分からないです。お願いします。

二つの運動量の違いは本に書いてあるとおりで、 $p_{x} = \frac{\partial L}{\partial \dot{x}}$ で定義されたものです（ $p_{y}$ も同様）。 $p_{x}, p_{y}$ には磁場の影響が入っているのは確かですが、「全体の条件が入った運動量」とか「磁場の影響を除いた運動量」という言葉の意味が不明瞭なので、その認識が合っているかどうか、私には判断できません。 -- 前野? 2023-09-02 $土$ 18:52:47
第２の質問ですが、この場合は $U$ に対応する部分が速度にも依存しているので、単純に-grad Uしても力にはならないです。 $\frac{1}{2}$ がついているのは、正しい運動方程式が出るようにです。 -- 前野? 2023-09-02 $土$ 18:54:24
1つ目の質問は、もう1回読んで自己解決しました！ -- お? 2023-09-02 $土$ 19:59:02
2つ目の質問も理解しました。ありがとうございました！ -- お? 2023-09-02 $土$ 19:59:59

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p226の問い10-8の解答について †

え? $2023 - 09 - 01 (金$ 22:29:34)

p365のD.106の下から2行目の式の2項目の括弧内は、 $p (q, Q, t)$ を $(q, p)$ を使った表現で $p (q, Q (q, p, t), t)$ として計算したのですか？これで導出できたのですが、q,Qは独立と問題で決めているのでQが従属変数になってないかと思ってしまいます。
また、同じ括弧内でpをtで偏微分すると何故0になるのか分からないです。お願いします。

題名のページ数を間違えました。p266の問い10.8でした。 -- え? 2023-09-01 $金$ 22:32:00
その上の方でやっている計算と同じで、 $\frac{\partial p (q, Q, t)}{\partial t} |_{q, Q}$ と $\frac{\partial p (q, Q (q, p, t), t)}{\partial t} |_{q, p}$ は、 $Q (q, p, t)$ の中の $t$ が微分されるかどうかの違いなので、その違いの分を引いてます。逆に $\frac{\partial p (q, Q (q, p, t), t)}{\partial t} |_{q, p}$ を計算するときに、１個めの $t$ （ $Q (q, p, t)$ の中の $t$ ）を微分した項と2個めの $t$ （最後の $, t)$ の $t$ ）を微分した項に分かれると思えば計算できます。 -- 前野? 2023-09-02 $土$ 07:38:18
$t$ で微分すると0になっている $p$ は $p (q, p, t)$ です。つまり「 $q, p, t$ を独立変数だと考えたときの $p$ 」です。これは $p$ そのものであって、 $t$ は入ってません。 -- 前野? 2023-09-02 $土$ 07:39:54
p,q,tが自由に変化できる $独立変数$ で、p $q, p, t$ も自由に動くためにはq,tは存在していないことになるからpそのものになるということですか？ -- え? 2023-09-02 $土$ 09:49:15
難しいこと考える必要はありません。 $p (q, p, t) = p$ ですから $p, q$ が一定として $t$ で微分すりゃ０です。 -- 前野? 2023-09-02 $土$ 17:04:59
その考え方でしっくりきました。ありがとうございました！ -- え? 2023-09-02 $土$ 17:31:59

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p266の問い10-8の解答について †

え? $2023 - 08 - 31 (木$ 18:33:39)

p364のD.105で、なぜ $q, p$ を $q, Q$ にした時そのような式になるのか分かりません。途中式を教えていただきたいです。また、D.105のしたに書いてある式がなぜイコールになっているかも分からないです。お願いします。

D.105については、ルジャンドル変換で $q, Q$ に変えたのですか？上手くできないです。 -- え? 2023-09-01 $金$ 00:52:58
$P (q, p, t)$ を $(q, Q)$ を使った表現にするということは、 $p$ を独立変数じゃなく $q, Q, t$ の関数 $p (q, Q, t)$ だと考える、というふうに立場を変えることになります。 -- 前野? 2023-09-01 $金$ 06:35:52
$P (q, p, t) = P (q, p (q, Q, t), t)$ ということになりますが、この式を $t$ で偏微分するとき、「 $(q, Q)$ を使った表現」では、 $p (q, Q, t)$ の中の $t$ も微分します。一方「 $(q, p)$ を使った表現なら、その微分は要りません。こちらの立場では $p$ は独立変数であって、 $t$ の関数ではないからです。 -- 前野? 2023-09-01 $金$ 06:40:36
つまり $\frac{\partial P (q, p, t)}{\partial t} |_{q, p}$ と $\frac{\partial P (q, Q, t)}{\partial t} |_{q, Q}$ の間には、 $P (q, p (q, Q, t), t)$ の1番めの $t$ を微分するかしないかの差があるから、それを引いているということです。 -- 前野? 2023-09-01 $金$ 06:43:20
$\frac{\partial P (q, p (q, Q, t), t)}{\partial t} |_{q, Q}$ を行うとすると、「1番目の $t$ を微分した項」と「2番目の $t$ を微分した項」が出てくるが、 $P (q, p, t)$ を $t$ で微分するときには「１番め〜」はない、ということです。 -- 前野? 2023-09-01 $金$ 06:46:58
$\frac{\partial P}{\partial p} |_{q, t} = \frac{\partial q}{\partial Q} |_{P, t}$ に関しては（10.6）の最初の式になってます（正準変換では $J = 1$ です）。あるいは問い10-5でも出しています。-- 前野? 2023-09-01 $金$ 06:51:26
理解できました。わかりやすい説明をありがとうございました！ -- え? 2023-09-01 $金$ 18:17:30

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p254の10.38について †

う? $2023 - 08 - 30 (水$ 14:54:47)

10.36をN回繰り返すと10.38になるとのことで、その説明にλ^nの項がNCn個あるということを使った。とありますが、二項定理からきているのでしょうか？そうなるとλ^nの分母に付いていたN^nはどこにいったのですか？N→♾に整理すると10.38のような形にできるのですか？10.39～10.40は理解できました。

$_{N} C_{n}$ が出てくるのはもちろん二項定理です。 -- 前野? 2023-08-31 $木$ 12:44:56
$\frac{N!}{n! (N - n)!} = \frac{1}{n!} N \times (N - 1) \times (N - 2) \times \dots \times (N - n + 1)$ と考えると、この量は $N \to \infty$ で $\frac{1}{n!} N^{n}$ となる量ですので、それで $N^{n}$ は消えます。 -- 前野? 2023-08-31 $木$ 12:46:42
できました！ありがとうございました。 -- う? 2023-08-31 $木$ 14:49:57

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p201の8.32について †

い? $2023 - 08 - 24 (木$ 18:31:41)

8.31から8.32の過程で、8.31の∑の中の第2項の部分が8.32で消えているのが何故か分からないですJの中に入ったのですか？

消えてません。逆に8.32の時間微分を積の微分 $ライプニッツ則$ を使ってバラしてやれば元の8.31に戻ります。 -- 前野? 2023-08-24 $木$ 19:53:01
気がつきませんでした。ありがとうございました！ -- い? 2023-08-24 $木$ 20:11:27

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第7章の7.70式について †

あ? $2023 - 08 - 22 (火$ 11:26:27)

7.69式と7.70式の間に書いてある微分方程式は、ωXとωYのどちらも同じ形ということですか？
となると解が
ωX=Acos $α t$ +Bsin $α t$
合成して
√ $A^{2} + B^{2}$ sin $α t + β$ →ω0sin $α t + β$
となってωYも同じ解となり、7.70式の形に導出できないです。
途中式をお願いできないでしょうか

$7.69$ は行列の式なので、実は２つの式があることはおわかりでしょうか。それを書き下すと、 $α ω_{X} = \frac{d}{d t} ω_{Y}$ と、 $- α ω_{Y} = \frac{d}{d t} ω_{X}$ の２式になります。 -- 前野? 2023-08-22 $火$ 12:40:41
この式から、 $- α^{2} ω_{X} = {\ddot{ω}}_{X}$ という式も作れるし、 $- α^{2} ω_{Y} = {\ddot{ω}}_{Y}$ という式も作れます。 -- 前野? 2023-08-22 $火$ 12:42:33
というのが $7.69$ と $7.70$ の間でやっていることです。そして、 $ω_{X}$ と $ω_{Y}$ の関係を考えると、 $ω_{X}$ がcosなら $ω_{Y}$ はsinで表されることになります。 -- 前野? 2023-08-22 $火$ 12:44:02
なるほど -- あ? 2023-08-22 $火$ 13:38:26
この場合では、ωXは三角関数の合成でcosとしてωYはωXとの関係からsinにできたよってことですか？ωXがsinでωYがcosでも大丈夫ですか？ -- あ? 2023-08-22 $火$ 13:42:11
$ω_{Y}$ の微分が $ω_{X}$ に比例なので、 $ω_{Y}$ が $\cos$ なら $ω_{X}$ は $- \sin$ ですね。 -- 前野? 2023-08-22 $火$ 15:07:55
理解できました！ありがとうございました -- あ? 2023-08-22 $火$ 15:50:19

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第6章について †

あいうえお? $2023 - 08 - 19 (土$ 15:51:47)

p162の振幅が
Cpsin $(p π$ /lx)
となるのはなぜですか？
6.66式から、sinがつくのは分かるのですが $p π$ /lのところがなぜそうなるのか分からないです。

$p π$ /lのlは元々はバネの個数だけど、無限にあるから弦の長さに置き換えれたということですか？物体の個数が無限だから弦の長さになるという解釈の方がいいですか？ -- あいうえお? 2023-08-19 $土$ 16:27:33
$6.70$ の $y_{n}$ の $\sin \frac{n p π}{N + 1}$ から来てます。この $n$ は「 $n$ 番目の物体」を表してますから、 $0$ から $N + 1$ までの距離を $ℓ$ とすれば、変位してないときの物体と物体の距離は $\frac{ℓ}{N + 1}$ なので、 $x = n \times \frac{ℓ}{N + 1}$ という対応になってます。 -- 前野? 2023-08-19 $土$ 17:10:44
つまりは、 $\frac{n}{N + 1} = \frac{x}{ℓ}$ です。 -- 前野? 2023-08-19 $土$ 17:11:37
0番目とN+1番目の物体は、両端の壁とバネの接合部分ということですか？ -- あいうえお? 2023-08-20 $日$ 11:52:15
そう考えていいです。-- 前野? 2023-08-20 $日$ 16:54:18
ありがとうございました！ -- あいうえお? 2023-08-20 $日$ 21:16:29

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第6章の6.88式について †

あいうえお? $2023 - 08 - 19 (土$ 15:47:44)

6.67式の作用を書き換えているということですが、y1とyNについての位置エネルギーはなぜ6.88式では無くなっているのですか？

ああ、これは本当は入れるべきですね。あるいは $\sum_{i = 1}^{N - 1}$ を $\sum_{i = 0}^{N}$ に変えて、「ただし $y_{0} = y_{N + 1} = 0$ とする」と注釈をつけるべきでした。 -- 前野? 2023-08-19 $土$ 16:55:43
この後、連続極限を取る（Nを無限大にする）ので、端っこの部分のちょっとした違いは結果に寄与しないので、ちょっと雑な書き方になってます。 -- 前野? 2023-08-19 $土$ 16:57:00
ありがとうございました！ -- あいうえお? 2023-08-20 $日$ 11:16:52

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12頁の内容につきまして †

大学生? $2023 - 07 - 16 (日$ 03:04:15)

解析力学を勉強しはじめた者です。
『よくわかる解析力学』の12頁の一部記述に対する理解が不安でしたので質問させていただきます。
12頁の中央辺りにある記述に「この二つを決めれば、次の加速度は運動方程式から決まる」とありますが、この文が指す内容は

初等力学で扱われる力は位置と速度、そして時刻の関数で表せるという経験則と運動方程式を併せて、ある時刻における加速度を求める。
$ただし直前の説明が指すように、その時刻における質点の位置と速度の値は与えられているとする。$

という意味でしょうか？
また12頁の内容とは無関係かもしれませんが、力学の教科書でよく説明される初期条件を決めれば力学系の運動状態が $原理的に$ 一意に決まるという主張は、上の内容に加えて、

先ほどの時刻における速度と加速度の値から微小時間だけ後の質点の位置と速度を決定し、先ほどの操作とこの操作を繰り返すことで力学系の位置を逐次的に時間追跡できる。

という理解の仕方で間違いないでしょうか。
解析力学自体の質問内容ではありませんが、自分の理解が不安だったので質問させていただきました。

その理解で問題ないです。 -- 前野? 2023-07-16 $日$ 06:48:59
回答していただきありがとうございます。大変助かりました。 -- 大学生? 2023-07-16 $日$ 10:49:24
回答していただきありがとうございます。大変助かりました。 -- 大学生? 2023-07-16 $日$ 19:07:41

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よくわかる解析力学サポート掲示板 のバックアップNo.93

「よくわかる解析力学」（東京図書）サポート掲示板 †

p１８０ ラグランジアンについて †

p276について †

p226の問い10-8の解答について †

p266の問い10-8の解答について †

p254の10.38について †

p201の8.32について †

第7章の7.70式について †

第6章について †

第6章の6.88式について †

12頁の内容につきまして †

よくわかる解析力学サポート掲示板のバックアップ $N o .93$

p１８０　ラグランジアンについて †